Pasito a paso. Límites laterales

En una entrada anterior trabajábamos con una definición de límite muy técnica y que resulta, por tanto, de difícil comprensión.
Desde un punto de vista didáctico, y pensando más en un nivel de secundaria, creo que resulta mucho más interesante el cálculo de límites mediante la idea “me acerco a…”, algo similar a la carrera entre Aquiles y la tortuga en la que veíamos a ambos corredores como se acercaban a un punto de la carrera, la meta, sin llegar nunca a ella, gracias a una marcha un tanto especial.
Para ello la tortuga avanzaba cada vez “la mitad” del recorrido que le quedaba hasta la meta, haciendo por tanto imposible que finalmente llegara hasta ese punto.
Algo similar se puede implementar con funciones para definir su límite cuando $x$ tienda a algún $x_0$. Bastará con dejar que la tortuga siga su camino de manera que $x_0$ sea su destino y ver como se comporta la imagen de dichos valores a través de una función.
Pero la tortuga podrá acercarse a $x_0$ por la izquierda o por la derecha, ¿no?. La respuesta es afirmativa, además se trata de una pregunta importante, porque pone en evidencia la necesidad de definir dos límites diferentes, el límite por la izquierda y el límite por la derecha, que aunque habitualmente serán iguales, habrá ocasiones en las que no.
Esto hay que detallarlo un poco más, y para ello lo mejor es disponer de una buena función que nos sirva de ejemplo: $$f(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x-3}$$
Esta función está perfectamente definida para todos los valores que queramos elegir para $x$ excepto en $x=3$, ya que si se sustituye dicho valor, ambos, numerados y denominador se anulan y me queda una expresión que no se puede calcular. Esto es un problema. ¿Qué pasará entonces cuando yo me acerque a $x=3$? Si voy “poquito a poquito” como la tortuga, ¿Llegaré a algún valor?, ¿existe límite de la función cuando $x$ tiende a 3?
Lo mejor es calcularlo, para ello usaremos una hoja de cálculo sobre la cuál podremos realizar nuestras cuentas. Existen un sinfín de hojas de cálculo y en todas ellas el procedimiento a seguir es muy parecido. La más conocida es Excel de la suite Office de Microsoft, auque en este ejemplo voy a hacerlo con la hoja de cálculo “Calc”, de la suite LibreOffice que se trata de software libre. Para ver cómo se hacen los cálculos insertaré capturas de pantalla.
Para cercarnos “poco a poco” a $x=3$, lo haremos en primer lugar desde su izquierda, es decir, desde los menores que 3. En matemáticas esto se simboliza añadiendo un superíndice al número. En este caso se usa el signo menos porque los negativos quedan a la izquierda. Técnicamente se escribe:
$$\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)$$
¿Qué valores de $x$ elegimos? Pues en realidad da un poco igual siempre que acabemos finalmente en 3, después de un sinfín de pasos. La tortuga y Aquiles seguirían una sucesión de pasos que sería $\{2, 2.5, 2.75, 2.875, 2.9375, …\}$. Sin embargo, yo prefiero utilizar otra sucesión de pasos que además de ser más evidente, es más rápida: $$x_n=\{ 2, 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, …\}$$
Al añadir cada vez un 9 más a la derecha del número se ve muy claramente que en cada paso estamos más cerca que antes del valor deseado, al cual sólo llegaremos después de un sinfín de pasos.

Aunque ya se podría calcular los valores de la función, creo que resultará más sencillo si previamente se llama $x$ al conjunto de valores que hemos escrito. De esta forma es mucho más sencillo introducir una fórmula, sin tener que cambiar su expresión en cada celda. Para ello, seleccionamos con el ratón todas las celdas en las que hemos escrito los valores de $x$ y en el menú Insertar desplegamos el menú Nombres y elegimos la opción Definir:

En la ventana que se abre bastará poner únicamente el nombre que queramos, en este caso, $x$.
A continuación hay que calcular el valor de la función en cada uno de los valores de $x$. Para ello basta escribir la fórmula de la función[=(x^2-9)/(x-3)] en la primera celda y copiarlo en el resto. Ésto último se hace simplemente usando el pequeño cuadradito negro situado en la parte inferior derecha del marco negro que rodea a la celda actual:

¿Dónde acabará por lo tanto el valor de la función cuando $x$ se acerca a 3 desde la izquierda? Es evidente que terminará valiendo 6, por tanto podemos escribir:
$$\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=6$$
De manera análoga podemos acercarnos desde la derecha. En este caso se emplea el superíndice “+” porque los positivos se encuentran en la derecha. Ahora elegimos la sucesión de valores para $x$: $\{4, 3.1, 3.01, 3.001, …\}$ que evidentemente se aproxima a $3$, aunque nunca llegarán a valer 3.
Si introducimos esta sucesión en el lugar de la anterior se tiene:

$$\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=6$$

Es evidente que ahora el límite también es 6. Como ambos límites son iguales, entonces la función elegida tiene límite en $x=3$ y ese límite en 6.
En conclusión, se puede utilizar una hoja de cálculo para calcular el valor de los límites laterales de una función en un punto. Esto es especialmente útil cuando queremos adquirir un conocimiento intuitivo del concepto de límite, tan fundamental en el Cálculo y esencial para que esta disciplina no se haga tan ardua a los alumnos. Bastará con elegir unas cuantas funciones bien escogidas y dárselas a los alumnos para que estos implementen el cálculo y luego poder discutir en clase sus resultados. Resulta muy gratificante ver que lo entienden y lo recuerdan muchos años después.

Happy PI day

Hoy 14 de marzo, (3/14 en notación anglosajona) se celebra el día π. Esta fiesta solo se celebra cuando escribimos las fechas en notación anglosajona porque lo más parecido que podríamos tener en España sería el 31 de abril (31/4). Una pena que abril solo tenga 30 días. No obstante, nosotros si podemos celebrar el día PI aproximado, el 22 de julio, puesto que 22/7 es una fracción cuyo valor aproxima bastante bien π (22/7=3.143).

Logo de Google para el 3 de Marzo de 2010

Siempre aprovecho estos días para contar en clase curiosidades sobre este número. Aunque es muy conocido, su historia da para un sinfín de anécdotas.

Su definición es bastante simple, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, o traducido, los metros que avanzará una rueda al dar una vuelta completa por cada metro que mida su diámetro.

Pi se define como la longitud de la circunferencia L entre su diámetro D

Sin embargo, pese a esta sencilla definición, π ha dado muchos dolores de cabeza a los matemáticos hasta que se llegó a entenderlo tal y como es: un número irracional trascendente, es decir, un número que no se puede escribir como fracción, con infinitas cifras decimales, y que no se puede calcular mediante operaciones como las raíces y potencias.

¿Cómo calcular π? En principio parece sencillo, se mide el diámetro, se mide la longitud de la circunferencia y se divide uno entre otro, ¿no?. Pues no del todo.

Resulta que si se pretende ser muy exacto, esto es del todo inviable. ¿Porqué? pues porque bien el diámetro, bien la longitud, bien los dos NO SE PODRÁN MEDIR DE FORMA EXACTA.

A este problema se le llama inconmensurabilidad es decir imposibilidad de ser medidos en conjunto. Este problema es bastante habitual en matemáticas, en especial en la geometría. Le sucede a triángulos equiláteros (lado y altura), cuadrados (lado y diagonal) y obviamente, también a circunferencias.

Los griegos, grandes pensadores y creadores del método de trabajo en matemáticas, ya conocían este “problema” y les disgustaba sobremanera. Sin embargo, algunas cantidades inconmensurables se podían dominar en parte. Pero con la circunferencia no eran tan fácil. Cuadrar el círculo resulta imposible.

¿Cómo obtener π? ¿Cómo calcularlo?. Históricamente el número π, como concepto, se conoce desde siempre, al menos desde siempre que se recuerda. Sumerios y babilónicos ya usaban la fracción 25/8=3.125, y en la Biblia se usa un valor de 3 (1 Reyes 7:23).

Sin embargo quien desarrolló un método muy interesante para su cálculo fue Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) que obtuvo una aproximación muy buena 223/71 < π < 22/7. Para ello utilizó el método de exhaución, encerrando el círculo entre polígonos regulares con los que podía calcular su área y/o perímetro.


Método de exhaución diseñado por Arquímedes

Los egipcios (Papiro de Rhind 1800 a. C.) usaron la fracción 256/81, en China, hacia el año 120 d. C. se usaba √10=3.16. Los árabes (siglo IX, Al-Jwarizmi) usan diferentes aproximaciones según su uso. Entre ellas 3.1416.

Su nombre, la letra griega π, fue usado por primera vez por William Jones en 1706 como acrónimo de perímetro. En esta lista de nombres deberíamos incluir a Fibonacci, Vieté, Newton, Halley, Leibniz, Euler y un sinfín de grandes hombres, además nos daría para escribir varios libros. Hoy en día se siguen calculando más y más cifras decimales, en ocasiones como prueba de potencia para un ordenador. Así, usando técnicas de cloud-computing en 2011 se pasó de los 10 billones de cifras decimales.


http://www.flickr.com/photos/alvy/3977597119/

Son muchas las curiosidades que han sido inspiradas por este número:

  • Muy conocido es el siguiente poema en el que las letras de cada palabra coinciden con las primeras cifras de π:

    Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por fin reducido fue al sistema ordinario usual.

  • Las cifras de π se envían regularmente al espacio en forma de señales de radio a la espera de que una civilización inteligente las escuche y nos tome como tal.
  • Basta con tomar 60872 cifras del número para encontrar cualquier secuencia de día-mes-año.
  • Si quieres calcular tu edad en π-años, puedes visitar la página π-days, introduciendo tu fecha de nacimiento te calcula tu π-edad.

Sin embargo, no se sabe todo, hay mucha cuestiones sin conocer. Por ejemplo: ¿aparecerá alguna vez una secuencia con mil unos consecutivos? En la expresión decimal completa, ¿aparecerán todas las cifras del 0 al 9 una cantidad infinita de veces?

Esas son preguntas que te están esperando. Hoy día π, te animo a dedicar unos 3.14 minutos a pensar en ello.

Para saber más:

Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea (ver en la Wikipedia Zenón de Elea) fue un filósofo de la antigüedad griega, anterior a Sócrates. Se le conoce principalmente por sus “paradojas”, un conjunto de exposiciones argumentativas que en las que se llega a una aparente contradicción.

 Si bien existen un sinfín de argumentos que permiten refutarlas, resultan muy interesantes para ser descritas desde el prisma de las matemáticas, ya que debajo de ellas subyacen diversos conceptos del cálculo infinitesimal, desconocidos en esa época. Esto es lógico puesto que tratan sobre lo discreto y lo continuo.

 Una de las más conocidas es la de Aquiles y la tortuga, en la que Zenón plantea una hipotética carrera entre el héroe clásico Aquiles y una tortuga:

“Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.”

Más allá de la situación cómica que plantea Zenón, al mezclar al gran héroe con un animal con tan poco glamour guerrero, es interesante ir analizando las distancias que van recorriendo tanto Aquiles como la tortuga en cada una de las iteraciones. Para ello mediremos las distancias en la siguiente recreación:

Posición inicial:
\(A_0=0\),
$T_0=1$
$A_1=1$,
$T_1=1+0.5=1.5$
$A_2=1.5$,
$T_2=1.5+0.25=1.75$
$A_3=1.75$,
$T_3=1.75+0.125=1.875$
$A_4=1.875$,
$T_4=1.875+0.0625=1.9375$
$A_5=1.9375$,
$T_5=1.9375+…$

Si nos fijamos en los pasos que va dando Aquiles: $\displaystyle\{1, 0.5, 0.25, …\}$ forman una progresión geométrica de razón 0.5, es decir, cada paso se obtiene multiplicando al anterior por 0.5
$$a_n=0.5 a_{n-1} \Rightarrow a_2=0.5a_1, \quad a_3=0.5 a_2=0.5^2 a_1, \quad a_4=0.5a_3=0.5^3a_1, \ldots $$ $$a_{n}=0.5^{n-1} a_1$$
Un poco más adelante, la tortuga va dando pasos de tamaño exactamente la mitad que Aquiles. La carrera seguirá indefinidamente, pero en realidad ninguno de los corredores pasará más allá de la marca de 2 unidades.

Para entender esta situación basta con fijarse en un detalle, cada corredor en cada instante dará un paso que es exactamente la mitad de la distancia que le queda hasta llegar a la posición 2. De esta forma, Aquiles empieza dando un paso de tamaño 1 cuando esta a dos unidades de la meta, luego su paso es de tamaño 0.5 cuando se encuentra a una unidad de la meta – ¿Por qué? – pues porque Aquiles corre hasta donde estaba la tortuga, pero cuando llega a ese punto, la tortuga ya se ha movido, ha avanzado justamente una pequeña distancia. Quien está marcando el ritmo de la carrera es en realidad la tortuga. Los pasos de ambos corredores terminarán siendo ridículamente pequeños, pero nunca serán cero, siempre más pequeños, pero nunca cero. ¿Cómo de pequeños serán después de 10000 zancadas?
$$a_{10000}=0.5^{9999}=..?..$$
Y en eso está el secreto de la pírrica victoria de la tortuga, por muy poco, pero siempre estará por delante de Aquiles.

Además si seguimos ese razonamiento parece evidente que tras un sinfín de pasos ambos corredores se encontrarán en la marca de 2 unidades. ¿Cuándo lo harán? En el tiempo que tarden en dar los infinitos pasos, pero más allá de dicha meta que no van a pasar. El recorrido total de Aquiles será de 2 unidades, mientras que el de la toruga será de tan solo una unidad.

Si recapacitamos un poco, acabamos de calcular una suma de infinitos sumandos. Cada término de la suma es uno de los pasos que da cada participante, y sabemos que esa carrera se podría alargar hasta el infinito. Entender este proceso llevó al hombre varios milenios, y sin embargo el sustrato estaba ahí desde antiguo. Este relato lleva implícitos varios conceptos muy atractivos y fáciles de introducir a estudiantes: las series geométricas, el concepto de suma infinita, precursora del concepto de integral, y el concepto de límite de una sucesión, al que llegamos al entender que el tamaño de los pasos “tiende a cero”, y que también precede al de límite de una función.

No pisar el césped

El concepto de límite es el fundamento del Cálculo, y en clase permite introducir la posibilidad matemática de movernos por una función, al menos de forma local.
Por otra parte, es una de las primeras veces que el alumno toma contacto con la notación matemática avanzada, y por eso resulta muy interesante poder enseñarle ese lenguaje lleno de $\forall \epsilon$ y $\exists \delta$.
Sin embargo resulta complicado enseñarles visualmente cuál es su significado estricto, en especial aquellos a los que nos cuesta un mundo hacer un dibujo coherente. En ese sentido, un buen gráfico vale más que mil rayajos en la pizarra.
Para ello he creado el siguiente applet de geogebra que me permite detallar cada uno de los conceptos que se esconden dentro de la siguiente definición:

Definición de límite

Definición:(Cauchy-Weierstrass) Sea \(f(x)\) una función definida en un abierto \(D\) que contiene a \(x_0\), se dice que \(L\) es el límite de la función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) y se escribe $$\lim_{x \to x_0} f(x)=L$$ si \[\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0\ :\ |x-x_0| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-L| \leq \epsilon\]

Gráficamente, lo que dice esta definición es que la función tendrá como límite \(L\) si para cualquier valor de \(\epsilon\) (altura del recuadro), podemos encontrar al menos un valor de \(\delta\) (anchura del recuadro) de manera que la función “no pise el césped”, es decir la zona verde.
En el applet se puede variar el punto \(x_0\) o el de unión para que la función deje de tener límite.

Si quieres descargarte el applet puedes hacerlo en mi sitio de Geogebratube.
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Hola mundo

Hoy 2 de marzo de 2013 inicio este blog. Mi intención es la de poder trasmitir ideas sobre como trabajar con las matemáticas en el aula utilizando para ello la potencia de cálculo y visualización que ofrecen las modernas tecnologías.
En mi opinión, se avecinan grandes cambios en la educación, empezando por sus propios cimientos. La educación tradicional, de “lápiz y papel”, en la que el acceso a la información era bastante escaso hacía necesaria la adquisición de conocimientos para poder emplearlos en un futuro profesional en el que los libros eran caros y de difícil localización.
Sin embargo, basta escribir en el móvil cualquier término para que inmediatamente el buscador de Google nos muestre una entrada a la Wikipedia, unas miríadas de referencias, o la misma operación matemática que costaría varios minutos en realizarse “a mano”.
Esa inmediatez de acceso al conocimiento no se ha incorporado todavía a los procesos de aprendizaje de la mayoría de las escuelas, y sin embargo si que lo ha hecho en un mundo profesional, en el que acabarán todos nuestros estudiantes.
Les enseñamos mediante medios arcaicos con la esperanza de que estén preparados para un futuro profesional moderno.
…. Seguro que algo estamos haciendo mal….