¿Cuánta sombra dan los árboles?

Es un día soleado de finales primavera, uno de esos en los que se agradece un rato de tranquilidad para escuchar el canto de los pájaros sentado a la sombra de un frondoso árbol. Uno de esos pocos días en los que consigues un rato de tranquilidad para descansar.
Escuchando a los gorriones y se viene a la cabeza el romance del prisionero…

Que por Mayo, era por Mayo cuando hace la calor….


by John Kay

Sin embargo, otra idea surge desde lo más profundo del otro hemisferio… Esas hojas así dispuestas, forman capas de hojas que van tapando la luz del Sol, pero ¿cuánta sombra proyectan? ¿Qué cantidad de luz llega al suelo?
Se trata de un problema divertido que necesita de varios pasos para ser resuelto. Empezaremos con las siguientes aproximaciones que permiten formular el problemas más fácilmente.

  • Vamos a suponer que las hojas se disponen en capas. Esas capas se suceden la una a la otra, pero las hojas de cada capa forman una estructura plana o casi plana en la que no hay hojas superpuestas.
  • La estructura de cada capa es similar a las demás. Obviamente no serán totalmente iguales pero si tendrán el mismo patrón y estarán dispuestas a una distancia suficiente.
  • Cada hoja es opaca, es decir, no deja pasar la luz.
  • El área ocupada por una hoja es “aproximadamente” circular.

Estas hipótesis no son estrictamente necesarias, pero ayudan a modelizar la situación.

Sombra de una hoja

Este punto es sencillo. Una hoja tapa justo una superficie igual a su área, que dado que hemos supuesto circular, será $\pi r^2$, siendo $r$ el radio de la hoja.

Sombra de una rama

¿Cuánta luz tapa una rama con sus hojas?. Esto también es fácil, será el área de una hoja multiplicada por el número total de hojas de la rama, que llamaremos $h$.
Es decir, una rama tapará un área igual a $h \pi r^2$.

Sombra de una capa de ramas

Varias ramas situadas a la misma altura, formarán en el árbol una estructura que llamaremos capa. ¿Cuánta luz tapa una capa de hojas? De nuevo la repuesta es número de hojas de una capa multiplicado por el área de una hoja, justo igual que antes.
Sin embargo, para valorar cuántas hojas tiene una capa, vamos a tener que pensar un poco más.
Un árbol tendrá un número muy grande de hojas $N$, repartidas en una serie de $n$ capas. Como hemos dicho, cada capa puede estar formada por una o varias ramas que no se superponen entre sí.
Como suponemos que las capas de hojas son semejantes entre sí, cada una tendrá un total de $N/n$ hojas.
Por tanto, el área tapada por cada una de las capas del árbol será $S_n=N \pi r^2/n$.

Ahora con fracciones

No nos asustemos porque hasta ahora todo ha sido fácil. Vamos a dar una vuelta de tuerca más.
Supongamos que la zona total que ocupa el árbol es un área que llamaremos $S$. Es en este área donde las capas de hojas van a ir tapando la luz, dejando solo unos resquicios por los que se van colando pequeños rayos, capa tras capa.
Cada capa tapará una cierta porción de área. El valor de dicha porción de área que tapa cada una de las $n$ capas es $S_n/S$, el área que tapa una capa entre en área total del árbol.
Por lo tanto, la fracción de área que quedará libre será $1-S_n/S$, es decir: $$1-\frac{N \pi r^2}{n S}$$

Contando estrellas

Resulta complicado contar el número total de hojas de un árbol. Serán muchas, y no queremos esperar a que se caigan para contarlas, así que vamos a idear una forma de saltarnos este paso.
Para ello vamos a tomar una superficie unidad y contar cuántas hojas hay en ese área. Eso es similar a lo que hacemos para contar estrellas o las gotas de pintura en la pared.
Llamaremos a ese valor densidad de hojas $d$. Esta densidad tiene que ser la misma, aproximadamente, en todo el árbol, y por tanto deberá ser igual al número total de hojas entre la superficie total ocupada por el árbol $d=N/S$.
Con esto la fracción de área que quedará libre que hemos calculado anteriormente se puede expresar: $$1-\frac{d \pi r^2}{n}$$

Capa tras capa…

Llegados a este punto, viene bien recapitular. Acabamos de obtener una fórmula que nos sirve para calcular la fracción de área libre que deja una capa de hojas.
Esta fracción, conocidos los valores de los parámetros, tendrá un valor que podremos calcular. Valdrá por ejemplo 1/10 o 1/124.
Tomemos un valor sencillo para ejemplificar. El que la fracción valga 1/3 querrá decir que de la luz que llega a la primera capa solo 1/3 pasará a la segunda capa.
Pero la segunda capa también dejará pasar solo 1/3 de la luz que le llega por lo que a la tercera le llegará solamente … (1/3 · 1/3 = 1/9)… 1/9 de la luz inicial.
Pero la tercera también dejará pasar solo 1/3 de la luz total, y así sucesivamente las $n$ capas. Por tanto la fracción de luz que atraviesa finalmente las $n$ capas se calculará multiplicando la fracción por si misma tantas veces como capas tenga el árbol.
Si volvemos a nuestra fórmula y aplicamos el razonamiento anterior podremos calcular la fracción de luz que atraviesa una árbol con $n$ capas. Si llamamos $F_n$ a esa fracción, tendremos: $$F_n=\left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Dicho valor es justo lo que queríamos calcular. Ahora solo tenemos que estimar valores creíbles para los datos, labor que dejo a los lectores.

Hasta el infinito y más allá…

Pero no acaba aquí el asunto, porque podemos llevar los cálculos un poco más allá. ¿Qué pasaría si en número de capas es muy grande? Cada capa tendría menos hojas, pero al ser muchas más, ¿Cuál será la fracción total de luz que atraviesa la copa del árbol?
Para eso tenemos el cálculo de límites, del cuál se ha hablado en dos entradas anteriores: No pisar el césped y Pasito a paso. Límites laterales. Ahora se trata de ver a qué valor se acerca la fracción de luz que atraviesa las $n$ capas cuando este número de capas tiende a infinito.
Está claro que la fracción de luz que traviesa cada capa, al ir siendo estas cada vez más pequeñas, será cada vez mayor, aproximándose a valer 1. Pero por contra, tendremos cada vez más capas, que aunque quiten poca luz, siempre quitarán algo. Dado que el número de capas tiende a infinito, esto hará que la cantidad de luz que pase tienda a ser cero.
¿No es esto contradictorio? Por una parte debería pasar toda la luz porque tenemos capas que quitan muy poca luz. Pero por otro lado parece que deberíamos tener una sombra absoluta al tener una cantidad tan grande de capas.
Estas situaciones contradictorias aparecen frecuentemente en el cálculo de límites y por tanto son muy conocidas y pueden ser resueltas, normalmente, con poca dificultad. Se denominan indeterminaciones y aprender a solventarlas constituye el parte núcleo principal de conocimientos que todo alumno debe adquirir en su formación matemática en el bachillerato y los primeros cursos de universidad.
En este caso el límite a calcular es el siguiente: $$F=\lim_{n\to \infty} F_n= \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Afortunadamente es una de las primeras indeterminaciones que se aprenden a resolver. Su valor es: $$F=e^{-d \pi r^2}$$
Fórmula corta y simple, con el número e=2.71828, la densidad $d$ y el área de una hoja.

Así que la próxima vez que os refugiéis del calor debajo de un árbol, pensad en si los cálculos están correctamente hechos o si se os ocurre una forma mejor de hacerlos. Seguro que vais a poder mejorar la estimación.
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Fin de semana matemático

Me acaba de llegar información de una interesante iniciativa a celebrar este fin de semana. Es una oportunidad para acercarnos con nuestras familias y disfrutar de un paseo divertido por el mundo de las matemáticas.

Día (fin de semana) matemático

Del viernes 19 al domingo 21 de abril CosmoCaixa Madrid acoge una programación especial encaminada a realizar un evento de divulgación de las matemáticas en este año que ha sido nombrado el “Año Internacional de las Matemáticas del Planeta Tierra”. Más información la tenéis en la paǵina web del evento: https://sites.google.com/site/diamatematicas/
A lo largo del fin de semana están programadas conferencias, talleres, visitas y otros eventos para los asistentes al museo.
La conferencia inaugural es el viernes a las 18:30 h “Estadística para entendernos” por Fernando Corbalán (premio José María Savirón de divulgación científica).
Además, la oferta habitual de talleres que ofrece el museo se ha adaptado a este evento. En lugar de realizarse los talleres habituales, la programación para este fin de semana comprende:

  • PUZLES MATEMÁTICOS. Fernando Blasco (UPM) y Nelo Maestre (Divermates)
  • CRIPTOGRAFÍA Y CÓDIGOS. María Moreno y alumnos (IES Alameda Osuna) 
  • CÓNICAS. Inma Conejo (Divermates) 
  • MATEMÁTICAS CON PAPEL Y TIJERAS. Marco Castrillón (UCM) y Divermates 
  • MATEMÁTICA RECREATIVA. Fernando Blasco (UPM) y Nelo Maestre (Divermates)

La programación es muy atractiva e incluye además otras actividades como shows de matemagia. Si queréis más información os remito de nuevo a su web: Fin de semana matemático o a la de Cosmocaixa
Si tenéis tiempo y os dais una vuelta por allí vais a descubrir que con las matemáticas también se pueden pasar muy buenos ratos.

Pi-pas

A vueltas con el número π, el otro día me envió un amigo un divertido corto del festival “Jameson Notodofilmfest” de la directora y guionista Manuela Moreno.

El corto pone a prueba los conocimientos de matemáticas de cualquiera…. aunque descorazona reconocer ese nivel en la gente que nos rodea…..

La verdad es que me resulta bastante familiar ese nivel de desconocimiento, fingido a veces, sobre todo lo que tiene que ver con las matemáticas en particular y el conocimiento científico en general. ¿Cuántas veces hemos oído..

“No,… si es que yo…. SOY DE LETRAS”

Esta frase que sirve como escudo ante el miedo a equivocarse, a decir algo incorrecto, o a tener que usar algo de sustancia gris.
Todavía no entiendo por qué es cultura ver una exposición de Monet o un corto como el que acabamos de ver, y no lo es ver un vídeo de Física (Mecánica Clásica) del profesor Walter Lewin del MIT.
No seas una “choni”, “no la líes parda” y dale una oportunidad al conocimiento …

La paradoja del cumpleaños

El cálculo de probabilidades tiene un sinfín de curiosidades y situaciones chocantes y que resultan, cuanto menos, extrañas. Una de éstas es la paradoja del cumpleaños.
En principio la tarea consiste en calcular la probabilidad de que en la sala en la que estamos haya dos personas que cumplan años el mismo día.

La situación resulta paradójica cuando afirmamos que basta con que en la sala se encuentren 23 personas para que la probabilidad sea de un 50 %.
Es realmente chocante porque todos tendemos a pensar de forma individualizada y creer que se trata de “encontrar a otro que cumpla años el mismo día que yo”. Nada más lejos de lo que se pretende. Se trata de encontrar a dos personas, entre las que puedo estar yo o no, que cumplan años el mismo día.
Pero ¿cómo calcularíamos dicha probabilidad? Si en la sala hay 10, 30 o 50 personas, ¿cuál será dicha probabilidad?
Al igual que sucede en muchos otros problemas de probabilidades, su cálculo no es complicado si abordamos el problema de forma inversa. Resulta más sencillo calcular la probabilidad de que no coincida nadie. Sin embargo la complejidad reside en las operaciones que hay que realizar con números grandes. Para eliminar esta dificultad operaremos con una hoja de cálculo. Usaré Calcde LibreOffice, si bien el procedimiento descrito se puede realizar en cualquier otro programa similar.
Empezaremos con la primera columna en la que pondremos el número de personas que hay en la sala. En primer lugar una, luego dos, … En la segunda columna pondremos los días disponibles, es decir, en los que no cumpla nadie años. En la tercera calcularemos directamente la probabilidad de que esto suceda, es decir de que no exista ninguna coincidencia, y en la cuarta la de que si que coincidan al menos 2.

Se rellenan cada una de las dos primeras columnas según se muestra en la figura anterior. A continuación empezamos el cálculo. La probabilidad de que la segunda persona no coincida con la primera será, según la ley de Laplace, el número de días libres (364) entre el número total de días (365). Como en la columna C hemos escrito los días libres para cada cantidad de personas, en la celda D5 escribimos la fórmula “=C5/365”. La probabilidad de que dos personas cumplan los años el mismo día será por tanto “=1-D5” que en este caso equivale a 0.0027, muy baja.
A continuación calcularemos la probabilidad para tres personas. Si pensamos en términos de la ley de Laplace, habrá que contar en términos de casos favorables y casos posibles. Respecto a los casos favorables tendremos un total de 365×364×363 posibilidades (variaciones sin repetición de 365 elementos cogidos de tres en tres). Por otro lado el número total de posibilidades para el nacimiento de tres personas es de 365×365×365.
Otra forma de calcular la misma probabilidad y que acumulará menor error de aproximación cuando tengamos más personas es la siguiente: la probabilidad de que ninguna de las tres personas coincida con otra será, dado que son sucesos independientes, la probabilidad anterior de que dos personas no coincidan, multiplicada por la de que la tercera tampoco lo haga. De esta forma, en la celda D6 escribimos “=D5*(C5/365)” y en la celda E6 “=1-D6”. Puedes verlo mejor en la figura siguiente:

Podemos extender el cálculo a 4, 5 o 25 personas. Basta con seleccionar la fórmula y arrastrar el cuadro de selección de la esquina inferior derecha (cuadrado pequeño). En la figura siguiente puedes observar el resultado del cálculo para las primeras 30 personas:

Se puede comprobar que, por ejemplo, con 23 personas en una sala la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día ya supera el valor 0.5, es decir, la mitad de las veces que lo intentemos encontraremos a dos personas que cumplen el mismo día. Hay que recordar que no tienen que cumplirlo el mismo día que yo, podrá ser el mismo, podrá ser otro.
Si examinamos como va aumentando la probabilidad al aumentar el número de personas de la sala, nos damos cuenta de que crece muy rápidamente. Una imagen gráfica de esta dependencia la tienes en la figura siguiente

En definitiva, y contrariamente a lo que una primera impresión nos indica, es muy probable encontrar a dos personas que cumplan años en el mismo día, de hecho, con solo 50 personas la probabilidad es casi uno. Los cálculos resultan muy sencillos de realizar gracias a la potencia de cálculo de un ordenador. Si su ayuda, seguramente nos perderíamos en un mar de números e imprecisiones.
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