Cartas (mate)mágicas

Resulta interesante hasta que punto las matemáticas pueden resultar sorprendentes e incluso “magia”.
El otro día nos suscribimos a la revista Leo-Leo, revista mensual para niños que les anima a leer y les cuenta diversas y divertidas historias. Como regalo de suscripción traía una “gran caja de magia”. Son trucos de magia bastante clásicos con los que estuve jugando con mi hija un rato.
De entre todos los trucos mágicos, el que me despertó la curiosidad era un juego de seis cartas con números que permitían adivinar la edad del espectador:

Cartas para leer la mente

El truco consiste en pedirle a un espectador que, sin decirle al mago cuál es su edad, escoja las cartas en las que ésta aparezca.
A continuación el mago, con bastante teatro, suma de cabeza el número de la esquina superior izquierda y “voilà”, se obtiene la edad del espectador.
Es un truco infalible si el espectador no hace trampas…
Pero, ¿Por qué funciona?, ¿qué orden siguen los números?
Observemos los números que hay que sumar: 1, 2, 4, 8, 16 y 32. Son las potencias de 2 y en realidad esa es la clave para adivinar el truco, la base 2 y el código binario.
Para entenderlo mejor, hay que recordar los fundamentos del sistema de numeración que empleamos.

El sistema de numeración decimal

Cuando escribimos una cantidad, 578 garbanzos, en realidad estamos describiendo una cantidad que se formaría al juntar 5 paquetes de 100 garbanzos, 7 paquetes de 10 garbanzos y 8 garbanzos sueltos. Este sistema de escribir cantidades forma el sistema de numeración decimal.
Se trata de un sistema de numeración que utiliza diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de los llamados “posicional” es decir, que las cifras anteriores cambian de valor según la posición que ocupen.
Así, en el número anterior, el 578, el 5 en la posición más a la izquierda indica 5 centenas, el 7 en medio simboliza 7 decenas y el 8 final indica 8 unidades.
Esto es algo que aprendemos desde pequeños y que hemos mecanizado hasta el punto de no necesitar recordarlo cada vez que vemos un número escrito. Pero no es el único sistema de numeración que existe. Aquellos familiarizados con los ordenadores les sonará el código binario (base 2), el octal (base 8) o el hexadecimal (base 16).

El sistema de numeración binario

Las cartas anteriores guardan relación con el sistema de numeración binario. Este sistema utiliza sólo dos cifras (0, 1) y es también posicional.
La diferencia con el decimal es el significado de cada posición. Mientras que en el sistema decimal cada posición se refiere a potencias de diez (unidades, decenas, centenas, …), en el sistema binario cada posición hace referencia a las potencias de 2: unidades, parejas, cuartetos, octetos, …

Pero, ¿cómo se escribe un número en base 2?

Veamos un ejemplo, el 45. Con 45 garbanzos puedo formar un paquete de 32 garbanzos y sobran 13. Con los 13 sobrantes no puedo formar ningún paquete de 16 garbanzos, pero si que puedo formar un paquete de 8 garbanzos y sobrarían 5. Con los 5 restantes puedo hacer un paquete de 4 garbanzos y sobra 1. Con éste no puedo hacer ninguna pareja de garbanzos, pero si que sobra 1 garbanzo.

Resumiendo: con 45 garbanzos puedo hacer 1 de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Por lo tanto:

45=101101

Esta conversión se puede hacer de forma más efectiva dividiendo sucesivamente entre 2, pero este proceso de restar resulta más útil para entender la disposición de los números en las cartas.

Y ya que estamos, ¿cómo convertir un número binario en decimal?

Pues este proceso es bastante sencillo, basta sumar las cantidades en las que se encuentre un uno en la notación binaria. ¿No suena esto a algo anteior?
Veamos un ejemplo, el número binario 100110 tiene 1 grupo de 32, 1 cuarteto y 1 par y por lo tanto 32+4+2=38.
Como tenemos una buena memoria enseguida recordamos que esta misma operación es la que tenemos que hacer para calcular el número secreto, la edad desconocida. Debíamos sumar las potencias de 2 en la que estuviera el número, ¿no?.
Pues ese es el truco. Basta colocar en cada cartón aquellos números que posean un grupo del mismo orden que la carta, el primer número de la lista, que será una potencia de 2.
En la correspondiente al 1, todos a los que le sobre una unidad, es decir, los impares.
En la correspondiente al 2, aquellos que en la transformación a binario, tuvieran una pareja.
En la del 4, aquellos que tuvieran un cuarteto, y así con el resto.
Veamos donde debe aparecer el número 45. Con él teníamos 1 grupo de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Entonces debe aparecer en la carta del 32, en la del 8, en la del 4 y en la del 1. De esta forma, al sumar las cartas en las que aparece (32+8+4+1=45) se reconstruye el número.
Fabricar las cartas puede parecer laborioso, pero no es así. En realidad es sencillo si se tiene la posibilidad de cambiar números a notación binaria con sencillez. Hoy día cualquier hoja de cálculo tiene la orden “DEC.A.BIN()” que permite escribir un número decimal en su forma binaria.

Por último, ¿dónde parar la lista?

En principio podríamos llevar la lista hasta el infinito, dado que tenemos infinitos números, pero si queremos fabricar solo 6 cartas, ¿cuál será el último número que deberemos escribir en ellas?.
Bueno, pues si vamos a usar las 6 primeras potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16 y 32, entonces el primer número que no vamos a poder obtener es la siguiente potencia de 2, el 64. Por lo tanto tendremos que parar en el 63.
Por cierto que éste número, el 63, al ser el más grande, tendrá todas las potencias de 2, y se escribirá en binario como 111111.
¿Y con n cartas? Con n cartas usaremos las potencias desde 1 hasta $2^{n-1}$ y por tanto el último número que deberemos incluir en las cartas será $2^n-1$.
Desde luego que en matemáticas hay muchos trucos de prestidigitación, o al menos se lo parecerán a aquellos poco duchos en ello.


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Pasado, presente y futuro en la misma imagen

Resulta muy interesante lo que se puede conseguir si a las acciones de la vida cotidiana le aplicamos las abstractas trasformaciones matemáticas.
En la entrada de hoy vamos a ver un ejemplo muy, pero que muy divertido. Se trata de una aplicación lineal que trasforma los puntos del espacio-tiempo en otros, ligeramente modificados en la componente temporal.
Voy a explicarlo en detalle para luego poder disfrutar de la película plenamente.
Se empieza con una película. ¿Qué es una película? Pues en realidad se trata, matemáticamente hablando, de un conjunto de puntos (píxeles) que tienen dos coordenadas que denotan su posición, y que además deben aparecer en un instante en concreto. De esta forma se puede decir que cada píxel de las imágenes de una película son en realidad un punto que tiene tres coordenadas $(x,y,t)$ del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$.
Para aquellos poco acostumbrados a los espacios vectoriales, no hay que asustarse. Basta quedarse con la idea de las tres coordenadas, una que indica la posición horizontal, otra la vertical y una tercera el instante de tiempo en el que el píxel debe aparecer.
Solo hay que tener en cuenta que el origen de coordenadas en la pantalla se encuentre en la esquina superior izquierda de la misma. En la figura siguiente se puede observar cómo serían las coordenadas de 16 píxeles en tres instantes diferentes:

Una vez que tenemos esto claro, ahora pasamos a realizar una transformación en la película. Se trata de un endomorfismo, es decir, una aplicación lineal del espacio vectorial inicial sobre sí mismo que lo que hace es transformar unos puntos en otros. Es el caso del vídeo que vamos a ver la transformación tiene como ecuación $$f(x,y,t)=(x,y,t-y)$$ Está claro, ¿no? Vamos a explicarlo mejor, es sencillo entenderlo. Lo que vamos a hacer es cambiar cada píxel $(x,y,t)$ de la película por el píxel $(x,y,t-y)$, es decir por el píxel que ocupe la misma posición $(x,y)$ pero que suceda en el tiempo $t-y$.
Esto afecta de forma diferente a cada línea horizontal de píxeles. Todos los píxeles que estén a la misma altura se mostrarán con el mismo retraso temporal. Se retrasarán en una cantidad igual a su altura.
Esto significa que en cada fotograma vamos a ver cosas que suceden en diferentes instantes de tiempo. El efecto es realmente sorprendente, y se nota más si los movimientos son más rápidos.

Que lo disfrutes.

Otra transformación similar es la que se aplica en la siguiente foto del noruego Eirik Solheim. En este caso la transformación aplicada es $$f(x,y,t)=f(x,y,t+x)$$ Es decir, ahora la transformación se aplica en líneas verticales y se muestran líneas que van desde el uno de enero a la izquierda hasta el 31 de diciembre a la derecha. Todo un año en una foto.


foto de Eirik Solheim.

Realmente interesante, ¿no?

Brotes verdes, envolventes macroeconómicas y la derivada segunda

Hoy 1 de mayo, día del trabajo, y dada la situación actual, vamos a hablar un poco de economía y de previsiones económicas, o de los fundamentos de éstas, que no requieren grandes conocimientos matemáticos.
El viernes pasado, se aprobó en Consejo de Ministros un paquete de medidas para “estimular el crecimiento”, pero a cambio el Gobierno rectificó sus previsiones económicas que daban el 2014 como el año en el que saldríamos de la crisis. Una lástima, porque yo ya estaba convencido de que esto era cuestión de un par de días…
En la rueda de prensa posterior, en la intervención de nuestro Ministro de Economía y Competitividad empezó hablando de las “envolventes macroeconómicas” en unos términos en los que nos recordó a los ya famosos “brotes verdes” del gobierno anterior.
Según lo pintaron, parecería como si detrás de todo ello hubiera una oscura teoría económica con indicadores y datos a los que solamente ellos tienen acceso y que indefectiblemente nos llevan a creer en ellos. Sesudos cálculos basados en complejísimas hojas de cálculo con las que se puede conocer hasta el precio del coche que te vas a comprar en 2015…
La realidad es otra muy distinta, y como recientemente se comprobó en el polémico caso del informe de los economistas Reinhart y Rogoff, los cálculos no son tan sesudos ni las hojas de cálculo tan complejas, sino que incluso pueden tener fallos “ridículos”.
Si ánimo de enmendar la plana a nadie, vamos a ver como es posible realizar nuestras pequeñas predicciones de crecimiento con los que dar nuestras pequeñas ruedas de prensa en la comunidad de vecinos.
Vamos a analizar esas envolventes macroeconómicas tan complejas que parecen sacadas de lo más profundo de los tomos de una biblioteca económica y que nosotros, terribles mortales, no seremos capaces de comprender.

Los datos

Para cualquier estudio se necesitan datos, para ser un buen economista hace falta tener una buena fuente de datos, al menos de aquellos datos que apoyen tus teorías.
Seguro que el ministro ha manejado complejos datos como la balanza de pagos, el tipo de cambio del bono a 10 años, la evolución del precio de las materias primas, etc, pero como yo solo soy un simple mortal, usaré el PIB, el producto interior bruto como indicador de la economía del país.
Y, ¿de dónde se sacan los datos del PIB? Pues esto es sencillo, en la página web del INE se encuentran a disposición de todos los españoles los datos más diversos, entre ellos los del PIB.
El último dato publicado es del cuarto trimestre de 2012, seguro que el gobierno tiene acceso al del primer trimestre de este año, pero nos conformaremos con ello. De entre todos los datos que el INE nos ofrece vamos a elegir los del PIB corregidos de Rentas a precio de mercado por trimestres desde el segundo trimestre de 2011, que es el periodo afectado por las “envolventes” del partido que nos gobierna. La tabla con los datos obtenidos es la siguiente:

Periodo 2011TII 2011TIII 2011TIV 2012TI 2012TII 2012TIII 2012TIV
PIB
(mill de €)
266211 266282 265782 263846 262979 263421 260958

Las envolventes

A continuación procedemos a realizar complejos y sesudos cálculos. Para ello introducimos los datos en una hoja de cálculo y los representamos en un diagrama de barras.
La “envolvente” la vamos a obtener realizando un ajuste de los datos. Tomaremos un ajuste polinomial a un polinomio de tercer grado. Tomamos uno de tercer grado porque así podremos tener un máximo, un mínimo y un punto de inflexión. Este último es muy importante en lo que a informes económicos se refiere porque marca el punto en el que un gobierno desesperado se da cuenta de que “el fin de la crisis está cerca”, “se vislumbra el final del túnel”, en definitiva, aparecen los “brotes verdes”.

El estudio económico

El ajuste polinómico ha arrojado como resultado la siguiente función:

f(x)=11,41x^3 - 206,3 x^2 + 155,2 x + 266430

Ahora procederemos a ver que nos dice esta función de ajuste. Para ello buscaremos sus máximos y mínimos relativos y su punto de inflexión. Sus derivadas primera y segunda son

f'(x)=34,23 x^2 -412,6 x + 155,2 \quad \quad \quad \quad f''(x)=68,46 x-412,6

Anulando las derivadas obtenemos los puntos deseados. El máximo relativo se encuentra en x=0.39, es decir, durante el segundo trimestre de 2011. Aquí el gobierno acababa de aterrizar, pasados ya los 100 primeros días de mandato y las cosas parecían ir viento en popa.
El punto de inflexión se encuentra en x=6,03, es decir en el tercer trimestre de 2012. Hasta ahí habíamos estado cayendo sin control, es decir con derivada segunda negativa. A partir de este punto la derivada segunda es positiva y por tanto seguimos cayendo, pero ahora en forma de U, es decir, que cada vez caeremos menos. En jerga política “se frena la desaceleración de la economía”.
¿Y cuándo empezaremos a crecer? ¿Cuándo llegaremos al mínimo? El mínimo se encuentra en x=11,67 que es a finales de 2013 o principios de 2014, situación más optimista de la que planteó el gobierno el pasado viernes y que se parece más a lo que nos aseguraban antes.

Otros escenarios

El análisis realizado es muy débil como se verá a continuación. Para ello vamos a realizar otros dos análisis similares cambiando la cantidad de datos utilizados.
En primer lugar tomaremos un trimestre más, el primer trimestre de 2011. Si repetimos los pasos dados anteriormente se obtienen unos resultados muy esperanzadores. El punto de inflexión habría ocurrido entre el primer y el segundo trimestre de 2012, mientras que el mínimo se alcanzaría en el primer trimestre de 2013, y a partir de aquí empezaríamos a crecer.

Ajuste: f(x) = 35.41x^3 - 621.1 x^2 + 2460 x + 263340
Máximo: 2º trimestre de 2011
Punto de Inflexión: 2º trimestre de 2012
Mínimo: 1º trimestre de 2013
Ya estaríamos creciendo !!!!

El segundo de los escenarios lo obtendremos quitando el segundo trimestre de 2011. Con un dato menos que el primero de los análisis, el resultado es bastante descorazonador ya que en este caso el punto de inflexión estaría en el primer trimestre de 2012, pero a diferencia de los casos anteriores, no tiene mínimo, por lo que la economía continuaría cayendo indefinidamente.

Ajuste: f(x) = -61.34 x^3 + 638.6 x^2 - 2894 x + 268830
Punto de Inflexión: 1º trimestre de 2012
No tiene puntos estacionarios, cae indefinidamente!!!!

Es decir, según queramos afirmar que vamos bien o muy mal, podremos usar datos que así lo aseguren.

Conclusión

La conclusión que podemos sacar de esto es que, muy a nuestro pesar, seguiremos cayendo durante este año, y con un poco de suerte tocaremos fondo a principios del año que viene. Lo único que parece quedar claro de todo esto es que ya hemos pasado por el punto “mágico”, ese punto en el que dejamos de caer cada vez más rápidos y seguimos cayendo, pero de forma más suave, cada vez menos.
En matemáticas, este punto se llama “punto de inflexión” y posee propiedades muy interesantes. Por ejemplo es el punto en el que la tangente a la curva corta a dicha curva en el punto de tangencia. Separa zonas de diferente concavidad, es decir, las funciones pasan de curvarse hacia abajo a hacerlo hacia arriba, según hemos tratado en esta entrada.
Sin embargo las matemáticas también nos enseñan que cambiar de concavidad no implica que vamos a tocar fondo. No todas las funciones con derivada segunda positiva, es decir, curvadas hacia arriba, con forma de U, llegan a tocar fondo. Ese el el caso de la función

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

Trasladado a la economía, la curva roja explicaría lo que le pudo suceder a Japón, un país que en los años 80 y 90 prometía ser la gran potencia del futuro, similar a la actual China, y que tras una crisis no ha vuelto a crecer de forma significativa. Esperemos que no sea este nuestro caso…
En definitiva, las predicciones económicas tienen una técnica con principios muy elementales, y que sin embargo solo los buenos economistas consiguen ser escuchados. Se trata más de un arte que de una ciencia.