Unas respuestas de altura

Uno de los problemas más estimulantes de las matemáticas desde la antigüedad es la medición de la altura de objetos. Desde árboles a montañas o edificios, la medición de la altura de los mismos siempre ha traído de cabeza al ser humano porque plantea una dificultad técnica difícil de salvar.
Pero allí donde los capacidad técnica no llega, aparece la capacidad matemática del ser humano. ¿Cómo medir la altura de un árbol, si la parte superior de su copa se va a doblar bajo mi peso? ¿Cómo medir la altura de una montaña si es tan irregular?
Ahora que estamos en temporada de exámenes, voy a traer una anécdota de un estudiante que respondió de una forma muy especial a un examen planteado por su profesor. El examen tenía una única pregunta:

Describe cómo medir la altura de este edificio con la ayuda de un barómetro

¿Cómo lo responderías?

Mientras lo piensas, un poco de historia no vendría mal. Uno de los Siete Sabios de la Grecia Clásica, Tales de Mileto, es conocido por idear la manera de medir la Gran Pirámide de Keops en un viaje que realizó a Egipto.
Según cuentan los historiadores clásicos, Tales realizó una circunferencia en la arena con una cuerda de igual longitud que su altura, a continuación se situó en el centro de la misma y esperó.
Dejó pasar el tiempo y cuando la parte superior de su sombra tocó la circunferencia dio un aviso a su ayudante. En ese instante su sombra medía exactamente lo mismo que su altura.
El ayudante se encargó de realizar una marca en la arena en el mismo punto en el que la sombra del pico de la pirámide tocara la arena. En ese instante la sombra de la pirámide medía lo mismo que su altura. Por lo tanto bastaba con medir dicha sombra para tener la altura deseada.
¡¡¡Ahhh!!! Claro, así si, eso es fácil, ¿no?.

La anécdota prometida trata de un alumno muy especial que respondió de forma muy poco habitual a la pregunta anterior. Como muchas de esas leyendas que corren de “blog a bloca”, la respuesta a la pregunta y sus consecuencias han sido atribuidas a grandes nombres como Feynman, Bohr, etc. Pero fue el profesor Alexander Calandra quien lo publicó en 1959 en un artículo titulado “Angels on a Pin” (ver la historia en Wikipedia).
La historia dice así:

Hace algún tiempo recibí una llamada de un colega que me pidió si podría arbitrar en la calificación de una pregunta de examen. Iba a dar un cero a un estudiante por su respuesta a una pregunta de física, mientras que el estudiante afirmaba que debería recibir la máxima nota y así se haría si el sistema no se hubiera organizado en contra de los estudiantes: El profesor y el estudiante acordaron acudir a un árbitro imparcial, y me eligieron a mi.
Acudí al despacho de mi colega y leí la pregunta del examen: “Demuestra como se puede determinar la altura de un edificio alto con la ayuda de un barómetro”.
El estudiante había contestado: “Lleva un barómetro a lo alto del edificio, átale una cuerda larga, haz que el barómetro baje hasta la calle. Mide la longitud de cuerda necesaria. La longitud de la cuerda es la altura del edificio”.
Hice notar que el estudiante realmente tenía derecho a una buena nota ya que había contestado a la pregunta correctamente. Por otra parte, si se le asignaba una buena nota contribuiría a que recibiese una buena calificación en su curso de física. Se supone que una buena calificación certifica competencia en física, pero la respuesta dada no se correspondía con esto. Sugerí entonces que se le diera al estudiante otra oportunidad para contestar a la pregunta. No me sorprendió que mi colega estuviese de acuerdo, sin embargo si lo hizo el que el alumno también lo estuviera.
Le di al estudiante seis minutos para responder a la pregunta con la advertencia de que la respuesta debía mostrar su conocimiento de la física. Al cabo de cinco minutos, no había escrito nada. Le pregunte si se daba por vencido, pero me contesto que no. Tenía muchas respuestas al problema; estaba buscando la mejor. Al minuto siguiente escribió corriendo su respuesta que decía lo siguiente:
“Lleva el barómetro a lo alto del edificio y asómate sobre el borde del tejado. Deja caer el barómetro, midiendo el tiempo de caída con un cronómetro. Luego usando la fórmula $s=1/2 at^2$, calcula la altura del edificio.”
En este momento le pregunte a mi colega si se daba por vencido. Estuvo de acuerdo y le dio al estudiante la máxima nota.
Al salir del despacho de mi colega recordé que el estudiante había dicho que tenía otras muchas respuestas al problema, así que le pregunte cuales eran. “Oh, si, ” dijo el estudiante. “Hay muchas maneras de determinar la altura de un edificio alto con un barómetro. Por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro, la longitud de su sombra, y la longitud de la sombra del edificio; luego usando una simple proporción, determinas la altura del edificio.”
“Excelente,“ le respondí. “¿Y las otras?”
“Si, “ dijo el estudiante. “Hay un método muy simple que le gustará. En este método se toma el barómetro y se comienza a subir las escaleras. A medida que se van subiendo las escaleras, se marca la longitud del barómetro a lo largo de la pared. Luego se cuenta el número de marcas y esto dará la altura del edificio en unidades barómetro. Un método muy directo.”
“Desde luego, si quiere un método más sofisticado, puede atar el barómetro al final de una cuerda, balancearlo como un péndulo; con él determina el valor de ‘g’ a nivel del suelo y en la parte superior del edificio. De la diferencia entre los dos valores de ‘g’ se puede calcular la altura del edificio.”
Finalmente, concluyó, “hay muchas otras formas de resolver el problema. Probablemente la mejor,” dijo, “es llamar en la portería. Cuando abra el portero, le dices lo siguiente: “Sr. portero, aquí tengo un barómetro excelente. Se lo daré, si me dice la altura de este edificio.”
En este momento le pregunté al estudiante si conocía la respuesta convencional a la pregunta. Reconoció que si, dijo que estaba harto de que los profesores del instituto y de la facultad trataran de enseñarle como tenía que pensar, usando el “método científico,” y a explorar la lógica profunda de la materia de una manera pedante, como se hace a menudo en matemáticas, en lugar de enseñarle la estructura de la materia.

Abrumador, siete maneras diferentes de medir la altura, y seguro que vosotros sois capaces de encontrar muchas más. Basta con utilizar todo lo que se conoce desde un punto de vista creativo.
¡¡¡Suerte estos días con los exámenes finales!!!!

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