Fibonacci y la divina proporción

Después del descanso vacacional, vamos a empezar esta nueva temporada con un tema muy mediático, del que se han escrito innumerables páginas, no siempre con el rigor adecuado. Sin embargo siempre es la punta de lanza con la que la divulgación matemática se abre camino.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci, una secuencia de números que el gran público conoce desde que el escritor Dan Brown, en la novela “El código Da Vinci” la popularizó.

En realidad esa secuencia parte de un problema que el matemático Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci escribió en su obra “Liber abaci” (una copia en inglés la tienes en “Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation” de L. Singler (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences)):

“Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?”

Como ya se trató en un post anterior sobre Alcuino de York, el problema no es del todo original (ver el problema 42 del post), si bien lo que introdujo Fibonacci fue un periodo de maduración de un mes, que Alcuino no tiene en cuenta.

La solución de dicho problema da lugar a una sucesión de números, llamada de Fibonacci en su honor:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Para saber cuántos conejos tendremos el próximo mes habrá que sumar el número de conejos que tenemos más el número de hijos, que es igual al número de parejas adultas que tenemos. ¿Y cuántos conejos adultos tenemos? Como los conejos tardan un mes en madurar, tendremos tanto adultos como conejos había el mes anterior.

Esto significa que para saber los conejos que tendré el próximo mes, habrá que sumar los conejos que tenemos más los que había el mes anterior, o escrito en una fórmula:

a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}

Siendo a_{n+1} los conejos que tendremos el próximo mes, a_{n} los que tenemos éste, y a_{n-1} los del mes anterior. A esto hay que añadir que empezamos con una pareja de conejos jóvenes (a_1=1) y por tanto en el mes siguiente seguiré teniendo una pareja (a_2=1).

Bonita representación en espiral de la sucesión de Fibonacci.

Para obtener el término general de dicha sucesión se suele emplear álgebra matricial, lo cual queda fuera de cualquier curso de secundaria (“Introduction to linear algebra” de G. Strang, Wellesley Cambridge Press). Sin embargo hay una manera de obtener dicho término general sin emplear complejas matemáticas, tan solo unas pocas operaciones. Para ver cómo es posible, necesitamos de la razón áurea.

El número de Oro

El número de oro, razón áurea, divina proporción,… Muchos son los nombres que se le dan. Se trata de un número irracional algebraico que se obtiene en geometría como resultado de dividir un segmento de manera que la relación que hay entre el segmento y la mayor de las partes es la misma que hay entre dicha parte y la menor.

\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

Operando adecuadamente con la proporción, es posible llegar a formularla como una ecuación algebraica:

x^2=x+1

Las soluciones son dos números, el llamado áureo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618… y otro, menos conocido que llamaremos \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618…

Son muchas las propiedades que se le atribuyen al número, en especial la propiedad de que allí donde aparece, está la belleza. Sin embargo no es mi objetivo ahora contarlas, sino tratar tan solo una de dichas cualidades, una muy matemática.
Bastará con operar un poco con la ecuación x^2=x+1 porque queremos encontrar una expresión sencilla para las potencias de los dos números anteriores, el áureo \phi y su hermano \varphi.

Si multiplicamos x^2=x+1 por x se tiene x^3=x^2+x=(x+1)+x=2 x+1. Si volvemos a multiplicar x^4=2x^2+x=2(x+1)+x=3x+2

Podemos seguir un poco más esta secuencia, de manera que las potencias del número áureo (y de su hermano) valen

x^1=1x+0
x^2=1x+1
x^3=2x+1
x^4=3x+2
x^5=5x+3
x^6=8x+5
x^7=13x+8
x^8=21x+13

Nos fijamos en la parte derecha de la lista anterior. ¿No os suenan de algo esos coeficientes? Pues si, se trata de la sucesión de Fibonacci. De hecho es relativamente sencillo demostrar por inducción (os lo dejo como ejercicio) que las potencias del número áureo (y las de su hermano) cumplen

x^n=a_n x+a_{n-1}

Siendo a_n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Esto quiere decir lo siguiente:

\phi^n=a_n\phi+a_{n-1} \varphi^n=a_n\varphi+a_{n-1}

Llegados a este punto, ya hemos superado todas las dificultades para obtener una expresión para el término general de la sucesión de Fibonacci.

Término general de la sucesión de Fibonacci

Las dos expresiones anteriores son muy similares, salvo por el hecho de que se refieren a dos números diferentes, el áureo y su hermano. Como queremos obtener el término general de la sucesión a_n, restamos ambas expresiones y nos queda:

\phi^n - \varphi^n=a_n (\phi-\varphi)

Dado que \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} y \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, si los restamos da \sqrt{5} y por tanto

a_n=\frac{\phi^n - \varphi^n}{\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}

La expresión no es que sea muy bella, sin embargo asombra por la simplicidad de los argumentos empleados.

Si la observamos detenidamente y tenemos en cuenta que las potencias de \varphi se van acercando a cero, se tiene que un término cualquiera de la sucesión es en realidad una potencia del número áureo dividida entre la raíz de 5.

a_n \approx \phi^n/\sqrt{5}

De hecho el error que se comete es \varphi^n/\sqrt{5}. Por tanto, si queremos calcular valores grandes de la sucesión, resulta más sencillo tomar su aproximación. En la siguiente tabla se comparan ambos valores

Como se puede apreciar, desde el primer momento, con un simple redondeo se obtiene el término de la sucesión deseado.

Esta entrada aparece en MTHTICS y está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.



Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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