Semana 1. Tarea 2

Análisis DAFO

La segunda tarea del curso es un análisis DAFO. El análisis DAFO es una herramienta usada en la toma de decisiones que permite ir analizando y desglosando diferentes aspectos de una disciplina. DAFO es el acrónimo de Debilidades, Amenazas, Fortalezas y Oportunidades.

Consiste en sintetizar en una cuadro los cuatro aspectos comentados con anterioridad, presentados juntos. Los cuatro se pueden agrupar en dos positivos (Fortalezas y Opotunidades) y dos negativos (Debilidades y Amenazas). También se pueden agrupar como externos (Oportunidades y Amenazas) e internos (Fortalezas y Debilidades).

De esta forma podemos ser conscientes de todos los aspectos necesarios para tomar una correcta decisión o para valorar adecuadamente cualquier propuesta.

A continuación muestro mi análisis para las competencias STEM.

Análisis DAFO de STEM. David Usero

Análisis DAFO de STEM. David Usero

Este no es sino un análisis preliminar que iré mejorando a lo largo del curso.

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Semana 1. Tarea 1.

¿Qué implicaciones trae consigo la consideración de tres áreas diferentes en una sola competencia?

Las siglas STEM (del inglés: Science, Technology, Engineering and Mathematics) recogen el intento de una parte de la sociedad de integrar tres áreas diferentes como son las Ciencias Naturales, la Tecnología y las Matemáticas en una sola, con el objetivo de aumentar la competitividad en ciencia y tecnología de la sociedad.

La idea es aprovechar las similitudes y puntos en común de estas tres asignaturas (son cuatro de hecho, pero la ingeniería como tal no tiene cabida de momento en el sistema educativo español) para desarrollar una visión interdisciplinaria del proceso de enseñanza y aprendizaje que incorpore a la vez situaciones de la vida cotidiana y todas las herramientas tecnológicas disponibles.

El objetivo es aumentar la formación en esas cuatro disciplinas de los futuros profesionales teniendo en cuenta que el mercado laboral va a requerir de muchos más trabajadores en esas áreas y que estén mejor formados. Y no solo se trata de formar profesionales sino de aumentar el nivel de conocimientos de los futuros ciudadanos que vivirán en un mundo inundado por la tecnología y por máquinas cada vez más complejas.

De esta forma, se intenta actuar en tres líneas:

  • Aumentar el nivel de conocimientos en disciplinas STEM de los alumnos desde el ciclo de infantil hasta que terminen sus estudios de secundaria (bachillerato o formación profesional de ciclo medio).
  • Aumentar las capacidades de los profesores formándoles en ciencias, matemáticas y tecnología.
  • Aumentar la cantidad y flujo de estudiantes preparados para estudiar y graduarse en disciplinas STEM.

Pros:

  • Resulta una positivo fomentar el conocimientos en esas áreas. Un mayor conocimiento de las mismas permitirá a los alumnos entender mejor el mundo que les rodea, permitiéndoles así tener una actitud crítica ante la vida.
  • El aumento del énfasis que la sociedad concede a esas materias ayudará a que los alumnos valoren más positivamente los conocimientos que se enseñan y les prepararán para el mundo laboral. Reforzarán el mensaje dado desde las aulas.
  • Al recibir una formación más centrada en la comunidad que les rodea se podrá recibir ayuda e interacción de las empresas para formar a los futuros profesionales en aquellas materias que les resulten más útiles a las mismas.
  • Fomentar en el alumno la curiosidad, la creatividad, la exploración, la búsqueda de los porqués, el pensamiento crítico y la colaboración entre ellos es algo muy importante que les servirá de gran ayuda cuando se conviertan en adultos.
  • La unificación de competencias pone de manifiesto una unicidad del conocimiento frente a la diversidad de caminos para acercarse a él. En realidad no existen las diferentes disciplinas, sino más bien, diferentes enfoques y maneras de trabajar en ciencia. En los laboratorios de investigación o en las empresas de tecnología e ingeniería resulta muy normal ver la convivencia entre diferentes profesionales que colaboran para obtener resultados. Un enfoque holístico desde la infancia ayudará más a crear ese ambiente de trabajo.

Contras: (o simples dudas)

  • Todavía no tengo muy claro si se trata de una más de las corrientes educativas, con su vocabulario específico, o si es algo que “viene para quedarse”. No se si está perfilado completamente o son un conjunto de iniciativas dispersas en las que cada actor perfila y dibuja según sus propios gustos y concepciones.
  • No habría que olvidar que, en el fondo, estamos tratando de la educación de los futuros adultos, de la educación de nuestros hijos, y si pretendemos sustituir un sistema de enseñanza por otro, éste deberá acreditar que puede conseguir, al menos, los mismos éxitos que ha conseguido el actual.
  • La creatividad, el pensamiento crítico, la colaboración, etc. pueden trabajarse desde muchos puntos de vista diferentes. Tal vez lo importante sea asegurarse de que los alumnos adquieran un buen nivel es esas disciplinas en lugar de centrar la atención en experimentos educativos.
  • Muchos alumnos no se muestran motivados ni interesados por las ciencias ya que un estudio en profundidad de éstas requiere de un nivel de matemáticas que no han sido capaces de adquirir. Este rechazo se genera, en parte por el la necesidad de repetir y calcular y, en parte por el carácter abstracto de ésta asignatura, pero no encuentro ningún otro método para aprender a multiplicar o dividir que la realización de muchas operaciones. Lo mismo podemos decir de las ecuaciones y de muchas partes del currículo.
  • R. Atkinson afirma que tal vez sea mejor ofrecer un avanzado programa de formación a aquellos alumnos que estén realmente preparados, en lugar de gastarse ingentes cantidades de dinero para formar a todos los alumnos en unas disciplinas que no les interesan y que rechazan.
  • La unificación de las competencias de esas áreas en una sola y la concepción unificadora del currículo va a requerir de grandes esfuerzos por parte del profesorado. Esfuerzos formativos en disciplinas en las que poseen pocos conocimientos, esfuerzos para aprender nuevas formas de estar en clase, de enfocar las asignaturas y de trabajar y colaborar entre los diferentes departamentos. Esto se hace más difícil entre un profesorado formado en la excesiva parcelación del conocimiento.
  • Resulta falaz que más desarrollos tecnológicos necesiten de ciudadanos mejor formados. Eso no es cierto. Yo no tengo ni idea de cómo se las apaña mi coche para arrancar cada mañana y llevarme al trabajo, y si se me rompe, llamo a una grúa y lo llevo al taller. En realidad, la tecnología se crea para facilitarnos la vida, por lo que los nuevos productos son más usables, más fáciles de manejar y de operar con ellos. No tengo porqué conocer los secretos de la criptografía de curva elíptica para poder operar con mi banco desde el móvil sin que me quiten el dinero. Lo que si que es cierto en que se necesitan mecánicos, programadores y matemáticos que sean profesionales de los suyo y colaboren para que yo pueda vivir mejor.

Realmente parecen más contras que pros, y lo son. Pero creo más bien se trata de prudencia y cierto temor ante el cambio que supone la forma de enfocar la enseñanza propuesta por el movimiento STEM.

Quiero destacar que los principios y objetivos del movimiento STEM son buenos y necesarios. Y siempre es bueno mejorar la preparación de los estudiantes.

Bibliografía

Un fin de semana para ordenar los libros

Este fin de semana me toca ordenar mis libros. He sufrido un ultimatum por parte de mi mujer: “o los ordeno o terminan en la biblioteca local como donación anónima”.

Sin embargo, como no me apetece empezar tan pronto, he decidido refrescar la memoria con una serie de vídeos que explican diferentes maneras de ordenar una lista de elementos de una forma muy entretenida. Han sido elaborados por el equipo del profesor Z. Kátai de la Sapientia University de Rumanía, como parte del proyecto Algo-Rythmics.

Los “algoritmos de ordenación” son métodos diseñados para recolocar una lista de elementos de menor a mayor siguiendo algún criterio. Todos los hemos utilizado, de forma más o menos consciente, en nuestra vida cotidiana al ordenar, por ejemplo, una baraja de cartas. Incluso estoy seguro que cada uno tiene el suyo propio. Los ordenadores ordenan elementos de forma continua, y aquellos que estudian programación están muy acostumbrados a los diferentes métodos que existen.
Veamos algunos de ellos, los más elementales:

Algoritmo de inserción

Este algoritmo quizás sea uno de los más obvios para una persona. Consiste en ordenar los dos primeros, a continuación se coge el tercer elemento y se le coloca en su posición con los otros dos. Se toma el cuarto y se le coloca en su posición, y así hasta terminar con la lista completa.
Puedes verlo “en danza” en el siguiente vídeo:

El algoritmo es sencillo pero nuestra experiencia nos dice que para ordenar listas grandes acaba siendo demasiado largo ya que obliga a una gran cantidad de comparaciones para los últimos elementos de la lista.

Ordenamiento por selección

Este es otro de los algoritmos más elementales. Consiste en buscar el elemento más pequeño e intercambiarlo por el primero. Tomamos la lista sin el primer elemento y repetimos el proceso, buscamos el más pequeño y lo intercambiamos por el segundo. Repetimos el proceso hasta el final.

Una variante no requiere del intercambio, sino que basta con tomar el pequeño, luego el segundo, etc. Al igual que en el caso anterior, cuando las listas son muy largas, el algoritmo se vuelve poco eficiente al necesitar un montón de comparaciones para encontrar el mínimo en cada paso.

A continuación veremos otros dos algoritmos más eficientes, es decir, que necesitan de un menor número de pasos para completar la ordenación.

El ordenado rápido

El algoritmo de ordenado rápido consiste en lo siguiente:

  • Se elige un elemento de la lista (pivote).
  • Se recolocan todos los elementos de manera que los menores queden a un lado y los mayores al otro. En este momento el pivote está en su sitio de la lista.
  • Se repite el proceso con las dos partes que quedan, la de los elementos más pequeños y la de los más grandes.

Es aconsejable, pero no indispensable, tomar como pivote un elemento lo más centrado posible. Así el algoritmo resulta más eficiente. Este método se llama así porque es el más rápido de todos, eso si, siempre que se acierte la elegir el pivote.

Ordenamiento por mezcla

Fue desarrollado por el matemático John Von Neumann, es una aplicación de la técnica “divide y vencerás” y resulta muy eficiente para listas muy grandes. El algoritmo consiste en separar la lista en grupos más pequeños, ordenarlos cada uno y luego ir mezclando los grupos.

La lista se divide en dos grupos, y cada uno en otros dos, y así de forma recursiva. Cada pequeño grupo se ordena y luego se mezcla con los compañeros. Esta mezcla siempre es más fácil al estar los grupos ordenados porque bastará comparar los primeros elementos de cada grupo y luego colocarlos por orden.

En la web del proyecto Algo-Rythmics se muestra además el funcionamiento de otros dos el “ordenamiento burbuja” y el “ordenamiento shell”. También tiene una interesante animación en la que se comprueba la velocidad de cada método. Como es obvio, el que gana es el ordenamiento rápido (el de mezcla no “compite”).

Un momento del test de eficiencia. El ordenamiento rápido ya ha terminado mientras que los otros se afanan en terminar…

También tienen un canal de Youtube: AlgoRythmics con todos los vídeos. También puedes informarte de más algoritmos de ordenación en la Wikipedia, en la entrada Algoritmo de ordenamiento.

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Fibonacci y la divina proporción

Después del descanso vacacional, vamos a empezar esta nueva temporada con un tema muy mediático, del que se han escrito innumerables páginas, no siempre con el rigor adecuado. Sin embargo siempre es la punta de lanza con la que la divulgación matemática se abre camino.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci, una secuencia de números que el gran público conoce desde que el escritor Dan Brown, en la novela “El código Da Vinci” la popularizó.

En realidad esa secuencia parte de un problema que el matemático Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci escribió en su obra “Liber abaci” (una copia en inglés la tienes en “Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation” de L. Singler (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences)):

“Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?”

Como ya se trató en un post anterior sobre Alcuino de York, el problema no es del todo original (ver el problema 42 del post), si bien lo que introdujo Fibonacci fue un periodo de maduración de un mes, que Alcuino no tiene en cuenta.

La solución de dicho problema da lugar a una sucesión de números, llamada de Fibonacci en su honor:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Para saber cuántos conejos tendremos el próximo mes habrá que sumar el número de conejos que tenemos más el número de hijos, que es igual al número de parejas adultas que tenemos. ¿Y cuántos conejos adultos tenemos? Como los conejos tardan un mes en madurar, tendremos tanto adultos como conejos había el mes anterior.

Esto significa que para saber los conejos que tendré el próximo mes, habrá que sumar los conejos que tenemos más los que había el mes anterior, o escrito en una fórmula:

a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}

Siendo a_{n+1} los conejos que tendremos el próximo mes, a_{n} los que tenemos éste, y a_{n-1} los del mes anterior. A esto hay que añadir que empezamos con una pareja de conejos jóvenes (a_1=1) y por tanto en el mes siguiente seguiré teniendo una pareja (a_2=1).

Bonita representación en espiral de la sucesión de Fibonacci.

Para obtener el término general de dicha sucesión se suele emplear álgebra matricial, lo cual queda fuera de cualquier curso de secundaria (“Introduction to linear algebra” de G. Strang, Wellesley Cambridge Press). Sin embargo hay una manera de obtener dicho término general sin emplear complejas matemáticas, tan solo unas pocas operaciones. Para ver cómo es posible, necesitamos de la razón áurea.

El número de Oro

El número de oro, razón áurea, divina proporción,… Muchos son los nombres que se le dan. Se trata de un número irracional algebraico que se obtiene en geometría como resultado de dividir un segmento de manera que la relación que hay entre el segmento y la mayor de las partes es la misma que hay entre dicha parte y la menor.

\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

Operando adecuadamente con la proporción, es posible llegar a formularla como una ecuación algebraica:

x^2=x+1

Las soluciones son dos números, el llamado áureo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618… y otro, menos conocido que llamaremos \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618…

Son muchas las propiedades que se le atribuyen al número, en especial la propiedad de que allí donde aparece, está la belleza. Sin embargo no es mi objetivo ahora contarlas, sino tratar tan solo una de dichas cualidades, una muy matemática.
Bastará con operar un poco con la ecuación x^2=x+1 porque queremos encontrar una expresión sencilla para las potencias de los dos números anteriores, el áureo \phi y su hermano \varphi.

Si multiplicamos x^2=x+1 por x se tiene x^3=x^2+x=(x+1)+x=2 x+1. Si volvemos a multiplicar x^4=2x^2+x=2(x+1)+x=3x+2

Podemos seguir un poco más esta secuencia, de manera que las potencias del número áureo (y de su hermano) valen

x^1=1x+0
x^2=1x+1
x^3=2x+1
x^4=3x+2
x^5=5x+3
x^6=8x+5
x^7=13x+8
x^8=21x+13

Nos fijamos en la parte derecha de la lista anterior. ¿No os suenan de algo esos coeficientes? Pues si, se trata de la sucesión de Fibonacci. De hecho es relativamente sencillo demostrar por inducción (os lo dejo como ejercicio) que las potencias del número áureo (y las de su hermano) cumplen

x^n=a_n x+a_{n-1}

Siendo a_n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Esto quiere decir lo siguiente:

\phi^n=a_n\phi+a_{n-1} \varphi^n=a_n\varphi+a_{n-1}

Llegados a este punto, ya hemos superado todas las dificultades para obtener una expresión para el término general de la sucesión de Fibonacci.

Término general de la sucesión de Fibonacci

Las dos expresiones anteriores son muy similares, salvo por el hecho de que se refieren a dos números diferentes, el áureo y su hermano. Como queremos obtener el término general de la sucesión a_n, restamos ambas expresiones y nos queda:

\phi^n - \varphi^n=a_n (\phi-\varphi)

Dado que \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} y \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, si los restamos da \sqrt{5} y por tanto

a_n=\frac{\phi^n - \varphi^n}{\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}

La expresión no es que sea muy bella, sin embargo asombra por la simplicidad de los argumentos empleados.

Si la observamos detenidamente y tenemos en cuenta que las potencias de \varphi se van acercando a cero, se tiene que un término cualquiera de la sucesión es en realidad una potencia del número áureo dividida entre la raíz de 5.

a_n \approx \phi^n/\sqrt{5}

De hecho el error que se comete es \varphi^n/\sqrt{5}. Por tanto, si queremos calcular valores grandes de la sucesión, resulta más sencillo tomar su aproximación. En la siguiente tabla se comparan ambos valores

Como se puede apreciar, desde el primer momento, con un simple redondeo se obtiene el término de la sucesión deseado.

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Sigue leyendo

Resolver una canción

Así se titula una charla que ha dado Karen Cheng en un “Ignite show”, un evento en el que la gente presenta una charla en 5 minutos sobre un tema de interés.
En el presente vídeo Karen Cheng, “Program Manager” de Microsoft, e involucrada en novedades para la nueva versión de Excel, nos explica el secreto para tocar bien una guitarra: “Las Matemáticas”
En realidad el secreto estriba en que al tocar las cuerdas de la guitarra, conseguimos que éstas vibren en una frecuencia determinada, es decir, que oscilen a una velocidad u otra. Controlando esta velocidad de vibración que llamamos frecuencia, se obtienen todas las notas de la escala musical.
Cuando tocamos dos cuerdas a la vez, dado que cada una oscila a una frecuencia distinta, las oscilaciones de las cuerdas serán diferentes. Según la relación que exista entre las frecuencias de vibración de las cuerdas, los sonidos se acoplarán de forma “armónica”, originando un único sonido agradable a nuestro oídos, o por el contrario saldrá un ruido estridente que nos parecerá desagradable.

De hecho el ser humano conoce esta relación desde antiguo y ya Pitágoras estudiaba las cuerdas vibrantes como forma de conocer la matemática que subyace en la naturaleza. Si bien no fue Pitágoras ni sus discípulos quienes se dieron cuenta de esta armonía que subyace al usar relaciones simples entre frecuencias, si que las estudiaron en profundidad, intentando crear una escala armónica.
Y digo intentando porque se quedó en eso, un intento irrealizable. Apareció el “coma pitagórico” como reflejo de ese fantasma de inconmensurabilidad propio de las matemáticas y de sus aplicaciones como la geometría y la propia música. Más adelante, otros muchos matemáticos pusieron nombre a ese fantasma, número “irracional”, porque lo es, o mejor dicho, porque no es racional.
Todo esto se entiende muy bien en la primera mitad del vídeo. La segunda parte es simplemente fantástica. La verdad es que no es la primera vez que esos trucos se emplean para asombrar al oyente, sin embargo no deja de ser impresionante como con un solo acorde de guitarra se pueden tocar tantas canciones.
Os dejo con el vídeo de youtube, sacado del blog de los ignite show aquí.

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Problemas para la playa, o algunos mitos desmontados.

Dentro de los numerosos mitos matemáticos, el que más me gusta es el del pequeño Gauss y su rígido profesor de matemáticas.
Corría el año 1784 y Karl, un niño de 7 años asistía por vez primera a su clase de aritmética. El profesor Büttner era un estricto docente que no permitía distracciones en el aula. Nada más empezar la clase, el profesor dictó en voz alta un problema a sus alumnos. Justo cuando terminó, el joven Karl llevó la tablilla con la respuesta a la mesa del profesor con el resultado.
Según se cuenta en el mito, el problema consistía en sumar los números desde el 1 al 100, y el cálculo que hizo el niño Karl fue genial.
En lugar de sumar secuencialmente los números: 1 + 2 + 3 + 4 + …, se dió cuenta de que al sumar los extremos se obtiene siempre la misma cantidad, es decir: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, … Por lo tanto, dado que podemos formar 50 parejas de este tipo con los 100 números, el resultado de la suma total será 50 parejas por 101 igual a 5050. El mito continúa afirmando que gracias a esta habilidad demostrada por Karl, su maestro le consiguió una beca para entrar en el Gimnasium (instituto) y terminó convirtiéndose en Karl F. Gauss, el “Príncipe de las Matemáticas”.
Siempre cuento esta anécdota en clase, y siempre algún alumno pregunta: ¿y quién es el Rey?. La respuesta ya está preparada: “Todavía no existe, pero puedes serlo tú”.
Sin embargo la anécdota, convertida en mito, dista de ser cierta, al menos como la contamos. Para saber toda la verdad al respecto recomiendo a todos que leáis esta entrada del blog de “la mula Francis”.
Tal y como comenta Francis, esa técnica para contar tan genial se conoce cuanto menos desde el siglo VIII de nuestra era. Algo decepcionante, ¿no?

En esta entrada voy a presentarles a uno de los pocos matemáticos conocidos de la Edad Media europea. Se trata de la mano derecha en temas educativos del emperador Carlomagno, y responsable del “Renacimiento Carolingio”, un periodo de renacimiento cultural surgido en dicha corte durante finales del siglo VIII y el IX.

Alcuino de York (735-804) fue un monje de origen anglosajón que fue llamado por Carlomagno para dirigir la Escuela Palatina y se convirtió en el gran organizador de la enseñanza en el reino franco. Ordenó los estudios según las siete artes liberales: el trivium (gramática, retórica y lógica) y el quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música). Está considerado como santo por las iglesias católica y anglicana.
Pero también tiene el mérito de ser el autor del que probablemente sea el primer libro de matemática recreativa de la historia, algo así como el Martin Gardner del siglo VIII. El libro se llama “Propositiones ad acuendos juvenes” (propuestas para provocar a los jóvenes). Una versión en inglés con comentarios de los autores la puedes encontrar en los archivos de MacTutor History of Mathematics. El libro es una colección de problemas con sus soluciones, alguno de los cuales resultarán conocidos a los lectores. Vamos a poner algunos:

Problema 42

Proposición de la escalera que tiene cien escalones.

Una escalera tiene 100 escalones. Una paloma se posó en el primer escalón, dos en el segundo, 3 en el tercero, 4 en el cuarto, 5 en el quinto y así sucesivamente hasta el centésimo. ¿Cuántas palomas había en total?

Seguro que el problema resulta bastante familiar, ¿no? En el libro se adjunta una solución que en esencia es la misma que dio Gauss al problema del maestro, solo que formulada de manera ligeramente diferente:

Solución

Toma la paloma del primer escalón y súmala a las 99 que están posadas en el escalón 99, y tienes 100. Haz lo mismo con el segundo y el 98 y obtienes también 100. Combinando de esta manera todos los escalones, esto es, uno de los más altos con uno de los más bajos, tendrás siempre 100. Pero el escalón 50 está solo, lo mismo que el 100. Suma todos y encontrarás que había 5050 palomas.

Como es de esperar, el texto original utiliza la numeración romana, y cada uno de los problemas son dignos de aparecer en la versión en latín del “Scientific American”, si es que algún día se publica.
Como cabe esperar, entre los cincuenta y pico problemas propuestos hay muchos muy conocidos:
Uno de ellos es todo un clásico de los problemas de ingenio:

Problema 18

Proposición del hombre, el lobo y la cabra.

Un hombre tuvo que trasladar al otro lado del río un lobo, una cabra y un manojo de coles. Y no podía encontrar otro barco, excepto uno que sólo podía soportar a dos de ellos. Tenía la intención de llevar todas las cosas enteras. ¿Cómo fue capaz de pasar el río con los tres?

El siguiente se puede considerar como el predecesor del famoso problema de los conejos de Leonardo de Pisa (Fibonacci). Seguro que éste último estudió este libro y tuvo oportunidad de repensarlo y reformularlo adecuadamente:

Problema 41

Proposición del recinto y la cerda.

Cierto granjero construyó un gran recinto cuadrado en la que colocó una cerda. La cerda dio a luz a siete lechones en el centro de la pocilga. La descendencia, junto con la madre, el octavo cerdo, dieron a luz a otros siete lechones cada uno en la primera de las cuatro esquinas de la pocilga. A continuación, la cerda y toda la descendencia de cada uno da a luz a siete más lechones en la segunda esquina. Lo mismo ocurre en la tercera esquina, y luego en la cuarta esquina. Finalmente la cerda y toda la descendencia cada dan a luz a siete más lechones en el centro de la pocilga cada uno. ¿Cuántos cerdos, como la madre, se encontraban en la pocilga en ese momento?

En problema es similar al de los conejos excepto por el hecho de que Fibonacci incluye un periodo de maduración que Alcuino no tiene en cuenta. El siguiente problema trata de una guerra y un ejército. En la actualidad se nos cuenta hablando de granos de trigo en lugar de soldados y de casillas de ajedrez en lugar de ciudades:

Problema 13

Proposición del rey.

Un rey ordenó a su sirviente recolectar una armada en las 30 ciudades de su reino de la manera siguiente: Debería traer de cada ciudad tantos hombres como soldados llegaran a la misma. El sirviente fue a la primera ciudad solo, entonces fue a la segunda ciudad con otro hombre, a la tercera con otros tres. ¿Cuántos hombres fueron recolectados de las 30 ciudades?

Aunque al principio parece ser un ejército ridículamente pequeño, si hacéis los cálculos os sorprenderá el ejército que reúne. Mil millones de soldados hubieran bastado para conquistar el mundo en aquella época.
A todos estos problemas Alcuino añade su correspondiente solución, aunque alguno tiene algun error guardado en las soluciones:

Problema 23

Proposición del campo triangular.

Hay un campo con 30 pértigas en uno de los lados, 30 pértigas en otro y 18 pértigas en el frente. ¿Cuántos “aripenni” contiene ese campo?

Una pértiga cuadrada equivale a 144 “aripenni”. La solución que proporciona está mal porque no utiliza el teorema de pitágoras para calcular la altura del triángulo. En lugar de esto, promedia la suma de los dos lados con lo que obtiene un valor para la altura igual a los lados del triángulo, 30 pértigas. La colección de problemas tiene algunos errores de este tipo. Otro problema similar tiene que ver con el valor de π:

Problema 25

Proposición del campo redondo.

Un campo redondo que tiene 400 pértigas en su circunferencia. ¿Cuántas “aripenni” caben en su interior?

En este caso para obtener la solución, le asigna a π un valor de 4. De esta forma el área del círculo equivale al cuadrado de la longitud de un cuadrante.
¿Cómo es posible que no conociera un mejor valor para π o no supiera usar el teorema de Pitágoras? Desde luego que si que lo conocería, pero quiero suponer que Alcuino utilizara estas aproximaciones tan burdas con el único fin de simplificar los cálculos, que son realmente complejos de hacer con números romanos. No hay que olvidar que se trata de unas propuestas para estimular a los jóvenes, y no para sepultarlos con unos largos y tediosos cálculos.
Por último, uno de los problemas guarda una divertida sorpresa:

Problema 43

Proposición de los cerdos.

Cierto hombre tenía 300 cerdos. Mandó matarlos en tres días, pero de manera que cada día se matara una cantidad impar de cerdos. Él deseó que se hiciera lo mismo con 30 cerdos. ¿Qué cantidades impares de cerdos, tanto para 300 como para 30, debían matarse cada uno de los tres días?

Este último problema no tiene solución ya que un número par no puede descomponerse como la suma de tres números impares. Alcuino comenta ésto mismo en la solución y recomienda proponer este problema a aquellos jóvenes que se porten mal, como reprimenda. Por lo visto los problemas de disciplina en las aulas no son un fenómeno único de nuestra época.
Recomiendo leer la obra citada, de la que he podido encontrar online versiones en latín y en inglés, pero lamentablemente ninguna en español.

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