Fibonacci y la divina proporción

Después del descanso vacacional, vamos a empezar esta nueva temporada con un tema muy mediático, del que se han escrito innumerables páginas, no siempre con el rigor adecuado. Sin embargo siempre es la punta de lanza con la que la divulgación matemática se abre camino.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci, una secuencia de números que el gran público conoce desde que el escritor Dan Brown, en la novela “El código Da Vinci” la popularizó.

En realidad esa secuencia parte de un problema que el matemático Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci escribió en su obra “Liber abaci” (una copia en inglés la tienes en “Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation” de L. Singler (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences)):

“Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?”

Como ya se trató en un post anterior sobre Alcuino de York, el problema no es del todo original (ver el problema 42 del post), si bien lo que introdujo Fibonacci fue un periodo de maduración de un mes, que Alcuino no tiene en cuenta.

La solución de dicho problema da lugar a una sucesión de números, llamada de Fibonacci en su honor:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Para saber cuántos conejos tendremos el próximo mes habrá que sumar el número de conejos que tenemos más el número de hijos, que es igual al número de parejas adultas que tenemos. ¿Y cuántos conejos adultos tenemos? Como los conejos tardan un mes en madurar, tendremos tanto adultos como conejos había el mes anterior.

Esto significa que para saber los conejos que tendré el próximo mes, habrá que sumar los conejos que tenemos más los que había el mes anterior, o escrito en una fórmula:

a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}

Siendo a_{n+1} los conejos que tendremos el próximo mes, a_{n} los que tenemos éste, y a_{n-1} los del mes anterior. A esto hay que añadir que empezamos con una pareja de conejos jóvenes (a_1=1) y por tanto en el mes siguiente seguiré teniendo una pareja (a_2=1).

Bonita representación en espiral de la sucesión de Fibonacci.

Para obtener el término general de dicha sucesión se suele emplear álgebra matricial, lo cual queda fuera de cualquier curso de secundaria (“Introduction to linear algebra” de G. Strang, Wellesley Cambridge Press). Sin embargo hay una manera de obtener dicho término general sin emplear complejas matemáticas, tan solo unas pocas operaciones. Para ver cómo es posible, necesitamos de la razón áurea.

El número de Oro

El número de oro, razón áurea, divina proporción,… Muchos son los nombres que se le dan. Se trata de un número irracional algebraico que se obtiene en geometría como resultado de dividir un segmento de manera que la relación que hay entre el segmento y la mayor de las partes es la misma que hay entre dicha parte y la menor.

\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

Operando adecuadamente con la proporción, es posible llegar a formularla como una ecuación algebraica:

x^2=x+1

Las soluciones son dos números, el llamado áureo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618… y otro, menos conocido que llamaremos \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618…

Son muchas las propiedades que se le atribuyen al número, en especial la propiedad de que allí donde aparece, está la belleza. Sin embargo no es mi objetivo ahora contarlas, sino tratar tan solo una de dichas cualidades, una muy matemática.
Bastará con operar un poco con la ecuación x^2=x+1 porque queremos encontrar una expresión sencilla para las potencias de los dos números anteriores, el áureo \phi y su hermano \varphi.

Si multiplicamos x^2=x+1 por x se tiene x^3=x^2+x=(x+1)+x=2 x+1. Si volvemos a multiplicar x^4=2x^2+x=2(x+1)+x=3x+2

Podemos seguir un poco más esta secuencia, de manera que las potencias del número áureo (y de su hermano) valen

x^1=1x+0
x^2=1x+1
x^3=2x+1
x^4=3x+2
x^5=5x+3
x^6=8x+5
x^7=13x+8
x^8=21x+13

Nos fijamos en la parte derecha de la lista anterior. ¿No os suenan de algo esos coeficientes? Pues si, se trata de la sucesión de Fibonacci. De hecho es relativamente sencillo demostrar por inducción (os lo dejo como ejercicio) que las potencias del número áureo (y las de su hermano) cumplen

x^n=a_n x+a_{n-1}

Siendo a_n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Esto quiere decir lo siguiente:

\phi^n=a_n\phi+a_{n-1} \varphi^n=a_n\varphi+a_{n-1}

Llegados a este punto, ya hemos superado todas las dificultades para obtener una expresión para el término general de la sucesión de Fibonacci.

Término general de la sucesión de Fibonacci

Las dos expresiones anteriores son muy similares, salvo por el hecho de que se refieren a dos números diferentes, el áureo y su hermano. Como queremos obtener el término general de la sucesión a_n, restamos ambas expresiones y nos queda:

\phi^n - \varphi^n=a_n (\phi-\varphi)

Dado que \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} y \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, si los restamos da \sqrt{5} y por tanto

a_n=\frac{\phi^n - \varphi^n}{\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}

La expresión no es que sea muy bella, sin embargo asombra por la simplicidad de los argumentos empleados.

Si la observamos detenidamente y tenemos en cuenta que las potencias de \varphi se van acercando a cero, se tiene que un término cualquiera de la sucesión es en realidad una potencia del número áureo dividida entre la raíz de 5.

a_n \approx \phi^n/\sqrt{5}

De hecho el error que se comete es \varphi^n/\sqrt{5}. Por tanto, si queremos calcular valores grandes de la sucesión, resulta más sencillo tomar su aproximación. En la siguiente tabla se comparan ambos valores

Como se puede apreciar, desde el primer momento, con un simple redondeo se obtiene el término de la sucesión deseado.

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Problemas para la playa, o algunos mitos desmontados.

Dentro de los numerosos mitos matemáticos, el que más me gusta es el del pequeño Gauss y su rígido profesor de matemáticas.
Corría el año 1784 y Karl, un niño de 7 años asistía por vez primera a su clase de aritmética. El profesor Büttner era un estricto docente que no permitía distracciones en el aula. Nada más empezar la clase, el profesor dictó en voz alta un problema a sus alumnos. Justo cuando terminó, el joven Karl llevó la tablilla con la respuesta a la mesa del profesor con el resultado.
Según se cuenta en el mito, el problema consistía en sumar los números desde el 1 al 100, y el cálculo que hizo el niño Karl fue genial.
En lugar de sumar secuencialmente los números: 1 + 2 + 3 + 4 + …, se dió cuenta de que al sumar los extremos se obtiene siempre la misma cantidad, es decir: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, … Por lo tanto, dado que podemos formar 50 parejas de este tipo con los 100 números, el resultado de la suma total será 50 parejas por 101 igual a 5050. El mito continúa afirmando que gracias a esta habilidad demostrada por Karl, su maestro le consiguió una beca para entrar en el Gimnasium (instituto) y terminó convirtiéndose en Karl F. Gauss, el “Príncipe de las Matemáticas”.
Siempre cuento esta anécdota en clase, y siempre algún alumno pregunta: ¿y quién es el Rey?. La respuesta ya está preparada: “Todavía no existe, pero puedes serlo tú”.
Sin embargo la anécdota, convertida en mito, dista de ser cierta, al menos como la contamos. Para saber toda la verdad al respecto recomiendo a todos que leáis esta entrada del blog de “la mula Francis”.
Tal y como comenta Francis, esa técnica para contar tan genial se conoce cuanto menos desde el siglo VIII de nuestra era. Algo decepcionante, ¿no?

En esta entrada voy a presentarles a uno de los pocos matemáticos conocidos de la Edad Media europea. Se trata de la mano derecha en temas educativos del emperador Carlomagno, y responsable del “Renacimiento Carolingio”, un periodo de renacimiento cultural surgido en dicha corte durante finales del siglo VIII y el IX.

Alcuino de York (735-804) fue un monje de origen anglosajón que fue llamado por Carlomagno para dirigir la Escuela Palatina y se convirtió en el gran organizador de la enseñanza en el reino franco. Ordenó los estudios según las siete artes liberales: el trivium (gramática, retórica y lógica) y el quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música). Está considerado como santo por las iglesias católica y anglicana.
Pero también tiene el mérito de ser el autor del que probablemente sea el primer libro de matemática recreativa de la historia, algo así como el Martin Gardner del siglo VIII. El libro se llama “Propositiones ad acuendos juvenes” (propuestas para provocar a los jóvenes). Una versión en inglés con comentarios de los autores la puedes encontrar en los archivos de MacTutor History of Mathematics. El libro es una colección de problemas con sus soluciones, alguno de los cuales resultarán conocidos a los lectores. Vamos a poner algunos:

Problema 42

Proposición de la escalera que tiene cien escalones.

Una escalera tiene 100 escalones. Una paloma se posó en el primer escalón, dos en el segundo, 3 en el tercero, 4 en el cuarto, 5 en el quinto y así sucesivamente hasta el centésimo. ¿Cuántas palomas había en total?

Seguro que el problema resulta bastante familiar, ¿no? En el libro se adjunta una solución que en esencia es la misma que dio Gauss al problema del maestro, solo que formulada de manera ligeramente diferente:

Solución

Toma la paloma del primer escalón y súmala a las 99 que están posadas en el escalón 99, y tienes 100. Haz lo mismo con el segundo y el 98 y obtienes también 100. Combinando de esta manera todos los escalones, esto es, uno de los más altos con uno de los más bajos, tendrás siempre 100. Pero el escalón 50 está solo, lo mismo que el 100. Suma todos y encontrarás que había 5050 palomas.

Como es de esperar, el texto original utiliza la numeración romana, y cada uno de los problemas son dignos de aparecer en la versión en latín del “Scientific American”, si es que algún día se publica.
Como cabe esperar, entre los cincuenta y pico problemas propuestos hay muchos muy conocidos:
Uno de ellos es todo un clásico de los problemas de ingenio:

Problema 18

Proposición del hombre, el lobo y la cabra.

Un hombre tuvo que trasladar al otro lado del río un lobo, una cabra y un manojo de coles. Y no podía encontrar otro barco, excepto uno que sólo podía soportar a dos de ellos. Tenía la intención de llevar todas las cosas enteras. ¿Cómo fue capaz de pasar el río con los tres?

El siguiente se puede considerar como el predecesor del famoso problema de los conejos de Leonardo de Pisa (Fibonacci). Seguro que éste último estudió este libro y tuvo oportunidad de repensarlo y reformularlo adecuadamente:

Problema 41

Proposición del recinto y la cerda.

Cierto granjero construyó un gran recinto cuadrado en la que colocó una cerda. La cerda dio a luz a siete lechones en el centro de la pocilga. La descendencia, junto con la madre, el octavo cerdo, dieron a luz a otros siete lechones cada uno en la primera de las cuatro esquinas de la pocilga. A continuación, la cerda y toda la descendencia de cada uno da a luz a siete más lechones en la segunda esquina. Lo mismo ocurre en la tercera esquina, y luego en la cuarta esquina. Finalmente la cerda y toda la descendencia cada dan a luz a siete más lechones en el centro de la pocilga cada uno. ¿Cuántos cerdos, como la madre, se encontraban en la pocilga en ese momento?

En problema es similar al de los conejos excepto por el hecho de que Fibonacci incluye un periodo de maduración que Alcuino no tiene en cuenta. El siguiente problema trata de una guerra y un ejército. En la actualidad se nos cuenta hablando de granos de trigo en lugar de soldados y de casillas de ajedrez en lugar de ciudades:

Problema 13

Proposición del rey.

Un rey ordenó a su sirviente recolectar una armada en las 30 ciudades de su reino de la manera siguiente: Debería traer de cada ciudad tantos hombres como soldados llegaran a la misma. El sirviente fue a la primera ciudad solo, entonces fue a la segunda ciudad con otro hombre, a la tercera con otros tres. ¿Cuántos hombres fueron recolectados de las 30 ciudades?

Aunque al principio parece ser un ejército ridículamente pequeño, si hacéis los cálculos os sorprenderá el ejército que reúne. Mil millones de soldados hubieran bastado para conquistar el mundo en aquella época.
A todos estos problemas Alcuino añade su correspondiente solución, aunque alguno tiene algun error guardado en las soluciones:

Problema 23

Proposición del campo triangular.

Hay un campo con 30 pértigas en uno de los lados, 30 pértigas en otro y 18 pértigas en el frente. ¿Cuántos “aripenni” contiene ese campo?

Una pértiga cuadrada equivale a 144 “aripenni”. La solución que proporciona está mal porque no utiliza el teorema de pitágoras para calcular la altura del triángulo. En lugar de esto, promedia la suma de los dos lados con lo que obtiene un valor para la altura igual a los lados del triángulo, 30 pértigas. La colección de problemas tiene algunos errores de este tipo. Otro problema similar tiene que ver con el valor de π:

Problema 25

Proposición del campo redondo.

Un campo redondo que tiene 400 pértigas en su circunferencia. ¿Cuántas “aripenni” caben en su interior?

En este caso para obtener la solución, le asigna a π un valor de 4. De esta forma el área del círculo equivale al cuadrado de la longitud de un cuadrante.
¿Cómo es posible que no conociera un mejor valor para π o no supiera usar el teorema de Pitágoras? Desde luego que si que lo conocería, pero quiero suponer que Alcuino utilizara estas aproximaciones tan burdas con el único fin de simplificar los cálculos, que son realmente complejos de hacer con números romanos. No hay que olvidar que se trata de unas propuestas para estimular a los jóvenes, y no para sepultarlos con unos largos y tediosos cálculos.
Por último, uno de los problemas guarda una divertida sorpresa:

Problema 43

Proposición de los cerdos.

Cierto hombre tenía 300 cerdos. Mandó matarlos en tres días, pero de manera que cada día se matara una cantidad impar de cerdos. Él deseó que se hiciera lo mismo con 30 cerdos. ¿Qué cantidades impares de cerdos, tanto para 300 como para 30, debían matarse cada uno de los tres días?

Este último problema no tiene solución ya que un número par no puede descomponerse como la suma de tres números impares. Alcuino comenta ésto mismo en la solución y recomienda proponer este problema a aquellos jóvenes que se porten mal, como reprimenda. Por lo visto los problemas de disciplina en las aulas no son un fenómeno único de nuestra época.
Recomiendo leer la obra citada, de la que he podido encontrar online versiones en latín y en inglés, pero lamentablemente ninguna en español.

Esta obra aparece en MTHTICS y está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Enseñar matemáticas en la actualidad: ideas y recursos

Tras el parón obligado por los exámenes, y después de gastar dos o tres bolígrafos rojos, retomo el blog, al que he tenido un tanto olvidado el mes pasado.
En esta entrada me gustaría presentaros un curso organizado por un par de amigos y compañeros. Se enmarca en el evento “Universidad de Otoño”, un conjunto de cursos para docentes que organiza todos los años el Colegio de Doctores y Licenciados en Filosofía y Letras y en Ciencias de la Comunidad de Madrid.
El título del curso es:

Enseñar matemáticas en la actualidad: ideas y recursos

El curso se desarrollará las tardes del 16 al 20 de septiembre en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense y para aquellos que queráis inscribiros, podéis hacerlo desde este enlace. El curso está pensado para profesores de Secundaria, estudiantes de Grados, y recién licenciados y graduados en áreas de ciencias. Además ofrece 2 créditos de sexenios, para aquellos que puedan optar a ellos.
En el curso trabaja, de modo general, en tres líneas diferentes:

  • Interacción entre el docente, la investigación en matemáticas y su aplicación al mundo real.
  • Aportar, compartir y desarrollar experiencias docentes usando la historia de las matemáticas, aplicaciones informáticas, y los foros como herramientas para compartir ideas.
  • Averiguar y divulgar el estado actual de la enseñanza de las matemáticas en secundaria.

Un programa detallado lo podéis encontrar en la web del curso: https://sites.google.com/site/cdlmatematicas2013/

Pero lo que más interesante me parece del mismo, y que lo convierte en algo interesante, es que no se trata de un curso corriente en el que los asistentes acuden a escuchar al ponente de turno. Muy al contrario se pide la participación de todos aquellos que lo deseen, dándole así un formato de “congreso”. De esta forma cualquiera puede presentar, en sesiones de 15 minutos, experiencias, ideas o recursos, permitiendo así una implicación más directa, un encuentro y un debate entre todos los participantes. Posteriormente a la celebración del curso, todas las comunicaciones estarán disponibles en la web y serán publicadas con el correspondiente ISBN.

Si os animáis, apuntaos y presentad alguna comunicación, seguro que merece la pena. Nos vemos esos días por allí.

Brotes verdes, envolventes macroeconómicas y la derivada segunda

Hoy 1 de mayo, día del trabajo, y dada la situación actual, vamos a hablar un poco de economía y de previsiones económicas, o de los fundamentos de éstas, que no requieren grandes conocimientos matemáticos.
El viernes pasado, se aprobó en Consejo de Ministros un paquete de medidas para “estimular el crecimiento”, pero a cambio el Gobierno rectificó sus previsiones económicas que daban el 2014 como el año en el que saldríamos de la crisis. Una lástima, porque yo ya estaba convencido de que esto era cuestión de un par de días…
En la rueda de prensa posterior, en la intervención de nuestro Ministro de Economía y Competitividad empezó hablando de las “envolventes macroeconómicas” en unos términos en los que nos recordó a los ya famosos “brotes verdes” del gobierno anterior.
Según lo pintaron, parecería como si detrás de todo ello hubiera una oscura teoría económica con indicadores y datos a los que solamente ellos tienen acceso y que indefectiblemente nos llevan a creer en ellos. Sesudos cálculos basados en complejísimas hojas de cálculo con las que se puede conocer hasta el precio del coche que te vas a comprar en 2015…
La realidad es otra muy distinta, y como recientemente se comprobó en el polémico caso del informe de los economistas Reinhart y Rogoff, los cálculos no son tan sesudos ni las hojas de cálculo tan complejas, sino que incluso pueden tener fallos “ridículos”.
Si ánimo de enmendar la plana a nadie, vamos a ver como es posible realizar nuestras pequeñas predicciones de crecimiento con los que dar nuestras pequeñas ruedas de prensa en la comunidad de vecinos.
Vamos a analizar esas envolventes macroeconómicas tan complejas que parecen sacadas de lo más profundo de los tomos de una biblioteca económica y que nosotros, terribles mortales, no seremos capaces de comprender.

Los datos

Para cualquier estudio se necesitan datos, para ser un buen economista hace falta tener una buena fuente de datos, al menos de aquellos datos que apoyen tus teorías.
Seguro que el ministro ha manejado complejos datos como la balanza de pagos, el tipo de cambio del bono a 10 años, la evolución del precio de las materias primas, etc, pero como yo solo soy un simple mortal, usaré el PIB, el producto interior bruto como indicador de la economía del país.
Y, ¿de dónde se sacan los datos del PIB? Pues esto es sencillo, en la página web del INE se encuentran a disposición de todos los españoles los datos más diversos, entre ellos los del PIB.
El último dato publicado es del cuarto trimestre de 2012, seguro que el gobierno tiene acceso al del primer trimestre de este año, pero nos conformaremos con ello. De entre todos los datos que el INE nos ofrece vamos a elegir los del PIB corregidos de Rentas a precio de mercado por trimestres desde el segundo trimestre de 2011, que es el periodo afectado por las “envolventes” del partido que nos gobierna. La tabla con los datos obtenidos es la siguiente:

Periodo 2011TII 2011TIII 2011TIV 2012TI 2012TII 2012TIII 2012TIV
PIB
(mill de €)
266211 266282 265782 263846 262979 263421 260958

Las envolventes

A continuación procedemos a realizar complejos y sesudos cálculos. Para ello introducimos los datos en una hoja de cálculo y los representamos en un diagrama de barras.
La “envolvente” la vamos a obtener realizando un ajuste de los datos. Tomaremos un ajuste polinomial a un polinomio de tercer grado. Tomamos uno de tercer grado porque así podremos tener un máximo, un mínimo y un punto de inflexión. Este último es muy importante en lo que a informes económicos se refiere porque marca el punto en el que un gobierno desesperado se da cuenta de que “el fin de la crisis está cerca”, “se vislumbra el final del túnel”, en definitiva, aparecen los “brotes verdes”.

El estudio económico

El ajuste polinómico ha arrojado como resultado la siguiente función:

f(x)=11,41x^3 - 206,3 x^2 + 155,2 x + 266430

Ahora procederemos a ver que nos dice esta función de ajuste. Para ello buscaremos sus máximos y mínimos relativos y su punto de inflexión. Sus derivadas primera y segunda son

f'(x)=34,23 x^2 -412,6 x + 155,2 \quad \quad \quad \quad f''(x)=68,46 x-412,6

Anulando las derivadas obtenemos los puntos deseados. El máximo relativo se encuentra en x=0.39, es decir, durante el segundo trimestre de 2011. Aquí el gobierno acababa de aterrizar, pasados ya los 100 primeros días de mandato y las cosas parecían ir viento en popa.
El punto de inflexión se encuentra en x=6,03, es decir en el tercer trimestre de 2012. Hasta ahí habíamos estado cayendo sin control, es decir con derivada segunda negativa. A partir de este punto la derivada segunda es positiva y por tanto seguimos cayendo, pero ahora en forma de U, es decir, que cada vez caeremos menos. En jerga política “se frena la desaceleración de la economía”.
¿Y cuándo empezaremos a crecer? ¿Cuándo llegaremos al mínimo? El mínimo se encuentra en x=11,67 que es a finales de 2013 o principios de 2014, situación más optimista de la que planteó el gobierno el pasado viernes y que se parece más a lo que nos aseguraban antes.

Otros escenarios

El análisis realizado es muy débil como se verá a continuación. Para ello vamos a realizar otros dos análisis similares cambiando la cantidad de datos utilizados.
En primer lugar tomaremos un trimestre más, el primer trimestre de 2011. Si repetimos los pasos dados anteriormente se obtienen unos resultados muy esperanzadores. El punto de inflexión habría ocurrido entre el primer y el segundo trimestre de 2012, mientras que el mínimo se alcanzaría en el primer trimestre de 2013, y a partir de aquí empezaríamos a crecer.

Ajuste: f(x) = 35.41x^3 - 621.1 x^2 + 2460 x + 263340
Máximo: 2º trimestre de 2011
Punto de Inflexión: 2º trimestre de 2012
Mínimo: 1º trimestre de 2013
Ya estaríamos creciendo !!!!

El segundo de los escenarios lo obtendremos quitando el segundo trimestre de 2011. Con un dato menos que el primero de los análisis, el resultado es bastante descorazonador ya que en este caso el punto de inflexión estaría en el primer trimestre de 2012, pero a diferencia de los casos anteriores, no tiene mínimo, por lo que la economía continuaría cayendo indefinidamente.

Ajuste: f(x) = -61.34 x^3 + 638.6 x^2 - 2894 x + 268830
Punto de Inflexión: 1º trimestre de 2012
No tiene puntos estacionarios, cae indefinidamente!!!!

Es decir, según queramos afirmar que vamos bien o muy mal, podremos usar datos que así lo aseguren.

Conclusión

La conclusión que podemos sacar de esto es que, muy a nuestro pesar, seguiremos cayendo durante este año, y con un poco de suerte tocaremos fondo a principios del año que viene. Lo único que parece quedar claro de todo esto es que ya hemos pasado por el punto “mágico”, ese punto en el que dejamos de caer cada vez más rápidos y seguimos cayendo, pero de forma más suave, cada vez menos.
En matemáticas, este punto se llama “punto de inflexión” y posee propiedades muy interesantes. Por ejemplo es el punto en el que la tangente a la curva corta a dicha curva en el punto de tangencia. Separa zonas de diferente concavidad, es decir, las funciones pasan de curvarse hacia abajo a hacerlo hacia arriba, según hemos tratado en esta entrada.
Sin embargo las matemáticas también nos enseñan que cambiar de concavidad no implica que vamos a tocar fondo. No todas las funciones con derivada segunda positiva, es decir, curvadas hacia arriba, con forma de U, llegan a tocar fondo. Ese el el caso de la función

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

Trasladado a la economía, la curva roja explicaría lo que le pudo suceder a Japón, un país que en los años 80 y 90 prometía ser la gran potencia del futuro, similar a la actual China, y que tras una crisis no ha vuelto a crecer de forma significativa. Esperemos que no sea este nuestro caso…
En definitiva, las predicciones económicas tienen una técnica con principios muy elementales, y que sin embargo solo los buenos economistas consiguen ser escuchados. Se trata más de un arte que de una ciencia.

¿Cuánta sombra dan los árboles?

Es un día soleado de finales primavera, uno de esos en los que se agradece un rato de tranquilidad para escuchar el canto de los pájaros sentado a la sombra de un frondoso árbol. Uno de esos pocos días en los que consigues un rato de tranquilidad para descansar.
Escuchando a los gorriones y se viene a la cabeza el romance del prisionero…

Que por Mayo, era por Mayo cuando hace la calor….


by John Kay

Sin embargo, otra idea surge desde lo más profundo del otro hemisferio… Esas hojas así dispuestas, forman capas de hojas que van tapando la luz del Sol, pero ¿cuánta sombra proyectan? ¿Qué cantidad de luz llega al suelo?
Se trata de un problema divertido que necesita de varios pasos para ser resuelto. Empezaremos con las siguientes aproximaciones que permiten formular el problemas más fácilmente.

  • Vamos a suponer que las hojas se disponen en capas. Esas capas se suceden la una a la otra, pero las hojas de cada capa forman una estructura plana o casi plana en la que no hay hojas superpuestas.
  • La estructura de cada capa es similar a las demás. Obviamente no serán totalmente iguales pero si tendrán el mismo patrón y estarán dispuestas a una distancia suficiente.
  • Cada hoja es opaca, es decir, no deja pasar la luz.
  • El área ocupada por una hoja es “aproximadamente” circular.

Estas hipótesis no son estrictamente necesarias, pero ayudan a modelizar la situación.

Sombra de una hoja

Este punto es sencillo. Una hoja tapa justo una superficie igual a su área, que dado que hemos supuesto circular, será $\pi r^2$, siendo $r$ el radio de la hoja.

Sombra de una rama

¿Cuánta luz tapa una rama con sus hojas?. Esto también es fácil, será el área de una hoja multiplicada por el número total de hojas de la rama, que llamaremos $h$.
Es decir, una rama tapará un área igual a $h \pi r^2$.

Sombra de una capa de ramas

Varias ramas situadas a la misma altura, formarán en el árbol una estructura que llamaremos capa. ¿Cuánta luz tapa una capa de hojas? De nuevo la repuesta es número de hojas de una capa multiplicado por el área de una hoja, justo igual que antes.
Sin embargo, para valorar cuántas hojas tiene una capa, vamos a tener que pensar un poco más.
Un árbol tendrá un número muy grande de hojas $N$, repartidas en una serie de $n$ capas. Como hemos dicho, cada capa puede estar formada por una o varias ramas que no se superponen entre sí.
Como suponemos que las capas de hojas son semejantes entre sí, cada una tendrá un total de $N/n$ hojas.
Por tanto, el área tapada por cada una de las capas del árbol será $S_n=N \pi r^2/n$.

Ahora con fracciones

No nos asustemos porque hasta ahora todo ha sido fácil. Vamos a dar una vuelta de tuerca más.
Supongamos que la zona total que ocupa el árbol es un área que llamaremos $S$. Es en este área donde las capas de hojas van a ir tapando la luz, dejando solo unos resquicios por los que se van colando pequeños rayos, capa tras capa.
Cada capa tapará una cierta porción de área. El valor de dicha porción de área que tapa cada una de las $n$ capas es $S_n/S$, el área que tapa una capa entre en área total del árbol.
Por lo tanto, la fracción de área que quedará libre será $1-S_n/S$, es decir: $$1-\frac{N \pi r^2}{n S}$$

Contando estrellas

Resulta complicado contar el número total de hojas de un árbol. Serán muchas, y no queremos esperar a que se caigan para contarlas, así que vamos a idear una forma de saltarnos este paso.
Para ello vamos a tomar una superficie unidad y contar cuántas hojas hay en ese área. Eso es similar a lo que hacemos para contar estrellas o las gotas de pintura en la pared.
Llamaremos a ese valor densidad de hojas $d$. Esta densidad tiene que ser la misma, aproximadamente, en todo el árbol, y por tanto deberá ser igual al número total de hojas entre la superficie total ocupada por el árbol $d=N/S$.
Con esto la fracción de área que quedará libre que hemos calculado anteriormente se puede expresar: $$1-\frac{d \pi r^2}{n}$$

Capa tras capa…

Llegados a este punto, viene bien recapitular. Acabamos de obtener una fórmula que nos sirve para calcular la fracción de área libre que deja una capa de hojas.
Esta fracción, conocidos los valores de los parámetros, tendrá un valor que podremos calcular. Valdrá por ejemplo 1/10 o 1/124.
Tomemos un valor sencillo para ejemplificar. El que la fracción valga 1/3 querrá decir que de la luz que llega a la primera capa solo 1/3 pasará a la segunda capa.
Pero la segunda capa también dejará pasar solo 1/3 de la luz que le llega por lo que a la tercera le llegará solamente … (1/3 · 1/3 = 1/9)… 1/9 de la luz inicial.
Pero la tercera también dejará pasar solo 1/3 de la luz total, y así sucesivamente las $n$ capas. Por tanto la fracción de luz que atraviesa finalmente las $n$ capas se calculará multiplicando la fracción por si misma tantas veces como capas tenga el árbol.
Si volvemos a nuestra fórmula y aplicamos el razonamiento anterior podremos calcular la fracción de luz que atraviesa una árbol con $n$ capas. Si llamamos $F_n$ a esa fracción, tendremos: $$F_n=\left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Dicho valor es justo lo que queríamos calcular. Ahora solo tenemos que estimar valores creíbles para los datos, labor que dejo a los lectores.

Hasta el infinito y más allá…

Pero no acaba aquí el asunto, porque podemos llevar los cálculos un poco más allá. ¿Qué pasaría si en número de capas es muy grande? Cada capa tendría menos hojas, pero al ser muchas más, ¿Cuál será la fracción total de luz que atraviesa la copa del árbol?
Para eso tenemos el cálculo de límites, del cuál se ha hablado en dos entradas anteriores: No pisar el césped y Pasito a paso. Límites laterales. Ahora se trata de ver a qué valor se acerca la fracción de luz que atraviesa las $n$ capas cuando este número de capas tiende a infinito.
Está claro que la fracción de luz que traviesa cada capa, al ir siendo estas cada vez más pequeñas, será cada vez mayor, aproximándose a valer 1. Pero por contra, tendremos cada vez más capas, que aunque quiten poca luz, siempre quitarán algo. Dado que el número de capas tiende a infinito, esto hará que la cantidad de luz que pase tienda a ser cero.
¿No es esto contradictorio? Por una parte debería pasar toda la luz porque tenemos capas que quitan muy poca luz. Pero por otro lado parece que deberíamos tener una sombra absoluta al tener una cantidad tan grande de capas.
Estas situaciones contradictorias aparecen frecuentemente en el cálculo de límites y por tanto son muy conocidas y pueden ser resueltas, normalmente, con poca dificultad. Se denominan indeterminaciones y aprender a solventarlas constituye el parte núcleo principal de conocimientos que todo alumno debe adquirir en su formación matemática en el bachillerato y los primeros cursos de universidad.
En este caso el límite a calcular es el siguiente: $$F=\lim_{n\to \infty} F_n= \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Afortunadamente es una de las primeras indeterminaciones que se aprenden a resolver. Su valor es: $$F=e^{-d \pi r^2}$$
Fórmula corta y simple, con el número e=2.71828, la densidad $d$ y el área de una hoja.

Así que la próxima vez que os refugiéis del calor debajo de un árbol, pensad en si los cálculos están correctamente hechos o si se os ocurre una forma mejor de hacerlos. Seguro que vais a poder mejorar la estimación.
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Pasito a paso. Límites laterales

En una entrada anterior trabajábamos con una definición de límite muy técnica y que resulta, por tanto, de difícil comprensión.
Desde un punto de vista didáctico, y pensando más en un nivel de secundaria, creo que resulta mucho más interesante el cálculo de límites mediante la idea “me acerco a…”, algo similar a la carrera entre Aquiles y la tortuga en la que veíamos a ambos corredores como se acercaban a un punto de la carrera, la meta, sin llegar nunca a ella, gracias a una marcha un tanto especial.
Para ello la tortuga avanzaba cada vez “la mitad” del recorrido que le quedaba hasta la meta, haciendo por tanto imposible que finalmente llegara hasta ese punto.
Algo similar se puede implementar con funciones para definir su límite cuando $x$ tienda a algún $x_0$. Bastará con dejar que la tortuga siga su camino de manera que $x_0$ sea su destino y ver como se comporta la imagen de dichos valores a través de una función.
Pero la tortuga podrá acercarse a $x_0$ por la izquierda o por la derecha, ¿no?. La respuesta es afirmativa, además se trata de una pregunta importante, porque pone en evidencia la necesidad de definir dos límites diferentes, el límite por la izquierda y el límite por la derecha, que aunque habitualmente serán iguales, habrá ocasiones en las que no.
Esto hay que detallarlo un poco más, y para ello lo mejor es disponer de una buena función que nos sirva de ejemplo: $$f(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x-3}$$
Esta función está perfectamente definida para todos los valores que queramos elegir para $x$ excepto en $x=3$, ya que si se sustituye dicho valor, ambos, numerados y denominador se anulan y me queda una expresión que no se puede calcular. Esto es un problema. ¿Qué pasará entonces cuando yo me acerque a $x=3$? Si voy “poquito a poquito” como la tortuga, ¿Llegaré a algún valor?, ¿existe límite de la función cuando $x$ tiende a 3?
Lo mejor es calcularlo, para ello usaremos una hoja de cálculo sobre la cuál podremos realizar nuestras cuentas. Existen un sinfín de hojas de cálculo y en todas ellas el procedimiento a seguir es muy parecido. La más conocida es Excel de la suite Office de Microsoft, auque en este ejemplo voy a hacerlo con la hoja de cálculo “Calc”, de la suite LibreOffice que se trata de software libre. Para ver cómo se hacen los cálculos insertaré capturas de pantalla.
Para cercarnos “poco a poco” a $x=3$, lo haremos en primer lugar desde su izquierda, es decir, desde los menores que 3. En matemáticas esto se simboliza añadiendo un superíndice al número. En este caso se usa el signo menos porque los negativos quedan a la izquierda. Técnicamente se escribe:
$$\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)$$
¿Qué valores de $x$ elegimos? Pues en realidad da un poco igual siempre que acabemos finalmente en 3, después de un sinfín de pasos. La tortuga y Aquiles seguirían una sucesión de pasos que sería $\{2, 2.5, 2.75, 2.875, 2.9375, …\}$. Sin embargo, yo prefiero utilizar otra sucesión de pasos que además de ser más evidente, es más rápida: $$x_n=\{ 2, 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, …\}$$
Al añadir cada vez un 9 más a la derecha del número se ve muy claramente que en cada paso estamos más cerca que antes del valor deseado, al cual sólo llegaremos después de un sinfín de pasos.

Aunque ya se podría calcular los valores de la función, creo que resultará más sencillo si previamente se llama $x$ al conjunto de valores que hemos escrito. De esta forma es mucho más sencillo introducir una fórmula, sin tener que cambiar su expresión en cada celda. Para ello, seleccionamos con el ratón todas las celdas en las que hemos escrito los valores de $x$ y en el menú Insertar desplegamos el menú Nombres y elegimos la opción Definir:

En la ventana que se abre bastará poner únicamente el nombre que queramos, en este caso, $x$.
A continuación hay que calcular el valor de la función en cada uno de los valores de $x$. Para ello basta escribir la fórmula de la función[=(x^2-9)/(x-3)] en la primera celda y copiarlo en el resto. Ésto último se hace simplemente usando el pequeño cuadradito negro situado en la parte inferior derecha del marco negro que rodea a la celda actual:

¿Dónde acabará por lo tanto el valor de la función cuando $x$ se acerca a 3 desde la izquierda? Es evidente que terminará valiendo 6, por tanto podemos escribir:
$$\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=6$$
De manera análoga podemos acercarnos desde la derecha. En este caso se emplea el superíndice “+” porque los positivos se encuentran en la derecha. Ahora elegimos la sucesión de valores para $x$: $\{4, 3.1, 3.01, 3.001, …\}$ que evidentemente se aproxima a $3$, aunque nunca llegarán a valer 3.
Si introducimos esta sucesión en el lugar de la anterior se tiene:

$$\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=6$$

Es evidente que ahora el límite también es 6. Como ambos límites son iguales, entonces la función elegida tiene límite en $x=3$ y ese límite en 6.
En conclusión, se puede utilizar una hoja de cálculo para calcular el valor de los límites laterales de una función en un punto. Esto es especialmente útil cuando queremos adquirir un conocimiento intuitivo del concepto de límite, tan fundamental en el Cálculo y esencial para que esta disciplina no se haga tan ardua a los alumnos. Bastará con elegir unas cuantas funciones bien escogidas y dárselas a los alumnos para que estos implementen el cálculo y luego poder discutir en clase sus resultados. Resulta muy gratificante ver que lo entienden y lo recuerdan muchos años después.

Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea (ver en la Wikipedia Zenón de Elea) fue un filósofo de la antigüedad griega, anterior a Sócrates. Se le conoce principalmente por sus “paradojas”, un conjunto de exposiciones argumentativas que en las que se llega a una aparente contradicción.

 Si bien existen un sinfín de argumentos que permiten refutarlas, resultan muy interesantes para ser descritas desde el prisma de las matemáticas, ya que debajo de ellas subyacen diversos conceptos del cálculo infinitesimal, desconocidos en esa época. Esto es lógico puesto que tratan sobre lo discreto y lo continuo.

 Una de las más conocidas es la de Aquiles y la tortuga, en la que Zenón plantea una hipotética carrera entre el héroe clásico Aquiles y una tortuga:

“Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.”

Más allá de la situación cómica que plantea Zenón, al mezclar al gran héroe con un animal con tan poco glamour guerrero, es interesante ir analizando las distancias que van recorriendo tanto Aquiles como la tortuga en cada una de las iteraciones. Para ello mediremos las distancias en la siguiente recreación:

Posición inicial:
\(A_0=0\),
$T_0=1$
$A_1=1$,
$T_1=1+0.5=1.5$
$A_2=1.5$,
$T_2=1.5+0.25=1.75$
$A_3=1.75$,
$T_3=1.75+0.125=1.875$
$A_4=1.875$,
$T_4=1.875+0.0625=1.9375$
$A_5=1.9375$,
$T_5=1.9375+…$

Si nos fijamos en los pasos que va dando Aquiles: $\displaystyle\{1, 0.5, 0.25, …\}$ forman una progresión geométrica de razón 0.5, es decir, cada paso se obtiene multiplicando al anterior por 0.5
$$a_n=0.5 a_{n-1} \Rightarrow a_2=0.5a_1, \quad a_3=0.5 a_2=0.5^2 a_1, \quad a_4=0.5a_3=0.5^3a_1, \ldots $$ $$a_{n}=0.5^{n-1} a_1$$
Un poco más adelante, la tortuga va dando pasos de tamaño exactamente la mitad que Aquiles. La carrera seguirá indefinidamente, pero en realidad ninguno de los corredores pasará más allá de la marca de 2 unidades.

Para entender esta situación basta con fijarse en un detalle, cada corredor en cada instante dará un paso que es exactamente la mitad de la distancia que le queda hasta llegar a la posición 2. De esta forma, Aquiles empieza dando un paso de tamaño 1 cuando esta a dos unidades de la meta, luego su paso es de tamaño 0.5 cuando se encuentra a una unidad de la meta – ¿Por qué? – pues porque Aquiles corre hasta donde estaba la tortuga, pero cuando llega a ese punto, la tortuga ya se ha movido, ha avanzado justamente una pequeña distancia. Quien está marcando el ritmo de la carrera es en realidad la tortuga. Los pasos de ambos corredores terminarán siendo ridículamente pequeños, pero nunca serán cero, siempre más pequeños, pero nunca cero. ¿Cómo de pequeños serán después de 10000 zancadas?
$$a_{10000}=0.5^{9999}=..?..$$
Y en eso está el secreto de la pírrica victoria de la tortuga, por muy poco, pero siempre estará por delante de Aquiles.

Además si seguimos ese razonamiento parece evidente que tras un sinfín de pasos ambos corredores se encontrarán en la marca de 2 unidades. ¿Cuándo lo harán? En el tiempo que tarden en dar los infinitos pasos, pero más allá de dicha meta que no van a pasar. El recorrido total de Aquiles será de 2 unidades, mientras que el de la toruga será de tan solo una unidad.

Si recapacitamos un poco, acabamos de calcular una suma de infinitos sumandos. Cada término de la suma es uno de los pasos que da cada participante, y sabemos que esa carrera se podría alargar hasta el infinito. Entender este proceso llevó al hombre varios milenios, y sin embargo el sustrato estaba ahí desde antiguo. Este relato lleva implícitos varios conceptos muy atractivos y fáciles de introducir a estudiantes: las series geométricas, el concepto de suma infinita, precursora del concepto de integral, y el concepto de límite de una sucesión, al que llegamos al entender que el tamaño de los pasos “tiende a cero”, y que también precede al de límite de una función.