Resulta interesante hasta que punto las matemáticas pueden resultar sorprendentes e incluso “magia”.
El otro día nos suscribimos a la revista Leo-Leo, revista mensual para niños que les anima a leer y les cuenta diversas y divertidas historias. Como regalo de suscripción traía una “gran caja de magia”. Son trucos de magia bastante clásicos con los que estuve jugando con mi hija un rato.
De entre todos los trucos mágicos, el que me despertó la curiosidad era un juego de seis cartas con números que permitían adivinar la edad del espectador:
Cartas para leer la mente
El truco consiste en pedirle a un espectador que, sin decirle al mago cuál es su edad, escoja las cartas en las que ésta aparezca.
A continuación el mago, con bastante teatro, suma de cabeza el número de la esquina superior izquierda y “voilà”, se obtiene la edad del espectador.
Es un truco infalible si el espectador no hace trampas…
Pero, ¿Por qué funciona?, ¿qué orden siguen los números?
Observemos los números que hay que sumar: 1, 2, 4, 8, 16 y 32. Son las potencias de 2 y en realidad esa es la clave para adivinar el truco, la base 2 y el código binario.
Para entenderlo mejor, hay que recordar los fundamentos del sistema de numeración que empleamos.
El sistema de numeración decimal
Cuando escribimos una cantidad, 578 garbanzos, en realidad estamos describiendo una cantidad que se formaría al juntar 5 paquetes de 100 garbanzos, 7 paquetes de 10 garbanzos y 8 garbanzos sueltos. Este sistema de escribir cantidades forma el sistema de numeración decimal.
Se trata de un sistema de numeración que utiliza diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de los llamados “posicional” es decir, que las cifras anteriores cambian de valor según la posición que ocupen.
Así, en el número anterior, el 578, el 5 en la posición más a la izquierda indica 5 centenas, el 7 en medio simboliza 7 decenas y el 8 final indica 8 unidades.
Esto es algo que aprendemos desde pequeños y que hemos mecanizado hasta el punto de no necesitar recordarlo cada vez que vemos un número escrito. Pero no es el único sistema de numeración que existe. Aquellos familiarizados con los ordenadores les sonará el código binario (base 2), el octal (base 8) o el hexadecimal (base 16).
El sistema de numeración binario
Las cartas anteriores guardan relación con el sistema de numeración binario. Este sistema utiliza sólo dos cifras (0, 1) y es también posicional.
La diferencia con el decimal es el significado de cada posición. Mientras que en el sistema decimal cada posición se refiere a potencias de diez (unidades, decenas, centenas, …), en el sistema binario cada posición hace referencia a las potencias de 2: unidades, parejas, cuartetos, octetos, …
Pero, ¿cómo se escribe un número en base 2?
Veamos un ejemplo, el 45. Con 45 garbanzos puedo formar un paquete de 32 garbanzos y sobran 13. Con los 13 sobrantes no puedo formar ningún paquete de 16 garbanzos, pero si que puedo formar un paquete de 8 garbanzos y sobrarían 5. Con los 5 restantes puedo hacer un paquete de 4 garbanzos y sobra 1. Con éste no puedo hacer ninguna pareja de garbanzos, pero si que sobra 1 garbanzo.
Resumiendo: con 45 garbanzos puedo hacer 1 de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Por lo tanto:
45=101101
Esta conversión se puede hacer de forma más efectiva dividiendo sucesivamente entre 2, pero este proceso de restar resulta más útil para entender la disposición de los números en las cartas.
Y ya que estamos, ¿cómo convertir un número binario en decimal?
Pues este proceso es bastante sencillo, basta sumar las cantidades en las que se encuentre un uno en la notación binaria. ¿No suena esto a algo anteior?
Veamos un ejemplo, el número binario 100110 tiene 1 grupo de 32, 1 cuarteto y 1 par y por lo tanto 32+4+2=38.
Como tenemos una buena memoria enseguida recordamos que esta misma operación es la que tenemos que hacer para calcular el número secreto, la edad desconocida. Debíamos sumar las potencias de 2 en la que estuviera el número, ¿no?.
Pues ese es el truco. Basta colocar en cada cartón aquellos números que posean un grupo del mismo orden que la carta, el primer número de la lista, que será una potencia de 2.
En la correspondiente al 1, todos a los que le sobre una unidad, es decir, los impares.
En la correspondiente al 2, aquellos que en la transformación a binario, tuvieran una pareja.
En la del 4, aquellos que tuvieran un cuarteto, y así con el resto.
Veamos donde debe aparecer el número 45. Con él teníamos 1 grupo de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Entonces debe aparecer en la carta del 32, en la del 8, en la del 4 y en la del 1. De esta forma, al sumar las cartas en las que aparece (32+8+4+1=45) se reconstruye el número.
Fabricar las cartas puede parecer laborioso, pero no es así. En realidad es sencillo si se tiene la posibilidad de cambiar números a notación binaria con sencillez. Hoy día cualquier hoja de cálculo tiene la orden “DEC.A.BIN()” que permite escribir un número decimal en su forma binaria.

Por último, ¿dónde parar la lista?
En principio podríamos llevar la lista hasta el infinito, dado que tenemos infinitos números, pero si queremos fabricar solo 6 cartas, ¿cuál será el último número que deberemos escribir en ellas?.
Bueno, pues si vamos a usar las 6 primeras potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16 y 32, entonces el primer número que no vamos a poder obtener es la siguiente potencia de 2, el 64. Por lo tanto tendremos que parar en el 63.
Por cierto que éste número, el 63, al ser el más grande, tendrá todas las potencias de 2, y se escribirá en binario como 111111.
¿Y con n cartas? Con n cartas usaremos las potencias desde 1 hasta $2^{n-1}$ y por tanto el último número que deberemos incluir en las cartas será $2^n-1$.
Desde luego que en matemáticas hay muchos trucos de prestidigitación, o al menos se lo parecerán a aquellos poco duchos en ello.
Sigue leyendo →