Resolver una canción

Así se titula una charla que ha dado Karen Cheng en un “Ignite show”, un evento en el que la gente presenta una charla en 5 minutos sobre un tema de interés.
En el presente vídeo Karen Cheng, “Program Manager” de Microsoft, e involucrada en novedades para la nueva versión de Excel, nos explica el secreto para tocar bien una guitarra: “Las Matemáticas”
En realidad el secreto estriba en que al tocar las cuerdas de la guitarra, conseguimos que éstas vibren en una frecuencia determinada, es decir, que oscilen a una velocidad u otra. Controlando esta velocidad de vibración que llamamos frecuencia, se obtienen todas las notas de la escala musical.
Cuando tocamos dos cuerdas a la vez, dado que cada una oscila a una frecuencia distinta, las oscilaciones de las cuerdas serán diferentes. Según la relación que exista entre las frecuencias de vibración de las cuerdas, los sonidos se acoplarán de forma “armónica”, originando un único sonido agradable a nuestro oídos, o por el contrario saldrá un ruido estridente que nos parecerá desagradable.

De hecho el ser humano conoce esta relación desde antiguo y ya Pitágoras estudiaba las cuerdas vibrantes como forma de conocer la matemática que subyace en la naturaleza. Si bien no fue Pitágoras ni sus discípulos quienes se dieron cuenta de esta armonía que subyace al usar relaciones simples entre frecuencias, si que las estudiaron en profundidad, intentando crear una escala armónica.
Y digo intentando porque se quedó en eso, un intento irrealizable. Apareció el “coma pitagórico” como reflejo de ese fantasma de inconmensurabilidad propio de las matemáticas y de sus aplicaciones como la geometría y la propia música. Más adelante, otros muchos matemáticos pusieron nombre a ese fantasma, número “irracional”, porque lo es, o mejor dicho, porque no es racional.
Todo esto se entiende muy bien en la primera mitad del vídeo. La segunda parte es simplemente fantástica. La verdad es que no es la primera vez que esos trucos se emplean para asombrar al oyente, sin embargo no deja de ser impresionante como con un solo acorde de guitarra se pueden tocar tantas canciones.
Os dejo con el vídeo de youtube, sacado del blog de los ignite show aquí.

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Problemas para la playa, o algunos mitos desmontados.

Dentro de los numerosos mitos matemáticos, el que más me gusta es el del pequeño Gauss y su rígido profesor de matemáticas.
Corría el año 1784 y Karl, un niño de 7 años asistía por vez primera a su clase de aritmética. El profesor Büttner era un estricto docente que no permitía distracciones en el aula. Nada más empezar la clase, el profesor dictó en voz alta un problema a sus alumnos. Justo cuando terminó, el joven Karl llevó la tablilla con la respuesta a la mesa del profesor con el resultado.
Según se cuenta en el mito, el problema consistía en sumar los números desde el 1 al 100, y el cálculo que hizo el niño Karl fue genial.
En lugar de sumar secuencialmente los números: 1 + 2 + 3 + 4 + …, se dió cuenta de que al sumar los extremos se obtiene siempre la misma cantidad, es decir: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, … Por lo tanto, dado que podemos formar 50 parejas de este tipo con los 100 números, el resultado de la suma total será 50 parejas por 101 igual a 5050. El mito continúa afirmando que gracias a esta habilidad demostrada por Karl, su maestro le consiguió una beca para entrar en el Gimnasium (instituto) y terminó convirtiéndose en Karl F. Gauss, el “Príncipe de las Matemáticas”.
Siempre cuento esta anécdota en clase, y siempre algún alumno pregunta: ¿y quién es el Rey?. La respuesta ya está preparada: “Todavía no existe, pero puedes serlo tú”.
Sin embargo la anécdota, convertida en mito, dista de ser cierta, al menos como la contamos. Para saber toda la verdad al respecto recomiendo a todos que leáis esta entrada del blog de “la mula Francis”.
Tal y como comenta Francis, esa técnica para contar tan genial se conoce cuanto menos desde el siglo VIII de nuestra era. Algo decepcionante, ¿no?

En esta entrada voy a presentarles a uno de los pocos matemáticos conocidos de la Edad Media europea. Se trata de la mano derecha en temas educativos del emperador Carlomagno, y responsable del “Renacimiento Carolingio”, un periodo de renacimiento cultural surgido en dicha corte durante finales del siglo VIII y el IX.

Alcuino de York (735-804) fue un monje de origen anglosajón que fue llamado por Carlomagno para dirigir la Escuela Palatina y se convirtió en el gran organizador de la enseñanza en el reino franco. Ordenó los estudios según las siete artes liberales: el trivium (gramática, retórica y lógica) y el quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música). Está considerado como santo por las iglesias católica y anglicana.
Pero también tiene el mérito de ser el autor del que probablemente sea el primer libro de matemática recreativa de la historia, algo así como el Martin Gardner del siglo VIII. El libro se llama “Propositiones ad acuendos juvenes” (propuestas para provocar a los jóvenes). Una versión en inglés con comentarios de los autores la puedes encontrar en los archivos de MacTutor History of Mathematics. El libro es una colección de problemas con sus soluciones, alguno de los cuales resultarán conocidos a los lectores. Vamos a poner algunos:

Problema 42

Proposición de la escalera que tiene cien escalones.

Una escalera tiene 100 escalones. Una paloma se posó en el primer escalón, dos en el segundo, 3 en el tercero, 4 en el cuarto, 5 en el quinto y así sucesivamente hasta el centésimo. ¿Cuántas palomas había en total?

Seguro que el problema resulta bastante familiar, ¿no? En el libro se adjunta una solución que en esencia es la misma que dio Gauss al problema del maestro, solo que formulada de manera ligeramente diferente:

Solución

Toma la paloma del primer escalón y súmala a las 99 que están posadas en el escalón 99, y tienes 100. Haz lo mismo con el segundo y el 98 y obtienes también 100. Combinando de esta manera todos los escalones, esto es, uno de los más altos con uno de los más bajos, tendrás siempre 100. Pero el escalón 50 está solo, lo mismo que el 100. Suma todos y encontrarás que había 5050 palomas.

Como es de esperar, el texto original utiliza la numeración romana, y cada uno de los problemas son dignos de aparecer en la versión en latín del “Scientific American”, si es que algún día se publica.
Como cabe esperar, entre los cincuenta y pico problemas propuestos hay muchos muy conocidos:
Uno de ellos es todo un clásico de los problemas de ingenio:

Problema 18

Proposición del hombre, el lobo y la cabra.

Un hombre tuvo que trasladar al otro lado del río un lobo, una cabra y un manojo de coles. Y no podía encontrar otro barco, excepto uno que sólo podía soportar a dos de ellos. Tenía la intención de llevar todas las cosas enteras. ¿Cómo fue capaz de pasar el río con los tres?

El siguiente se puede considerar como el predecesor del famoso problema de los conejos de Leonardo de Pisa (Fibonacci). Seguro que éste último estudió este libro y tuvo oportunidad de repensarlo y reformularlo adecuadamente:

Problema 41

Proposición del recinto y la cerda.

Cierto granjero construyó un gran recinto cuadrado en la que colocó una cerda. La cerda dio a luz a siete lechones en el centro de la pocilga. La descendencia, junto con la madre, el octavo cerdo, dieron a luz a otros siete lechones cada uno en la primera de las cuatro esquinas de la pocilga. A continuación, la cerda y toda la descendencia de cada uno da a luz a siete más lechones en la segunda esquina. Lo mismo ocurre en la tercera esquina, y luego en la cuarta esquina. Finalmente la cerda y toda la descendencia cada dan a luz a siete más lechones en el centro de la pocilga cada uno. ¿Cuántos cerdos, como la madre, se encontraban en la pocilga en ese momento?

En problema es similar al de los conejos excepto por el hecho de que Fibonacci incluye un periodo de maduración que Alcuino no tiene en cuenta. El siguiente problema trata de una guerra y un ejército. En la actualidad se nos cuenta hablando de granos de trigo en lugar de soldados y de casillas de ajedrez en lugar de ciudades:

Problema 13

Proposición del rey.

Un rey ordenó a su sirviente recolectar una armada en las 30 ciudades de su reino de la manera siguiente: Debería traer de cada ciudad tantos hombres como soldados llegaran a la misma. El sirviente fue a la primera ciudad solo, entonces fue a la segunda ciudad con otro hombre, a la tercera con otros tres. ¿Cuántos hombres fueron recolectados de las 30 ciudades?

Aunque al principio parece ser un ejército ridículamente pequeño, si hacéis los cálculos os sorprenderá el ejército que reúne. Mil millones de soldados hubieran bastado para conquistar el mundo en aquella época.
A todos estos problemas Alcuino añade su correspondiente solución, aunque alguno tiene algun error guardado en las soluciones:

Problema 23

Proposición del campo triangular.

Hay un campo con 30 pértigas en uno de los lados, 30 pértigas en otro y 18 pértigas en el frente. ¿Cuántos “aripenni” contiene ese campo?

Una pértiga cuadrada equivale a 144 “aripenni”. La solución que proporciona está mal porque no utiliza el teorema de pitágoras para calcular la altura del triángulo. En lugar de esto, promedia la suma de los dos lados con lo que obtiene un valor para la altura igual a los lados del triángulo, 30 pértigas. La colección de problemas tiene algunos errores de este tipo. Otro problema similar tiene que ver con el valor de π:

Problema 25

Proposición del campo redondo.

Un campo redondo que tiene 400 pértigas en su circunferencia. ¿Cuántas “aripenni” caben en su interior?

En este caso para obtener la solución, le asigna a π un valor de 4. De esta forma el área del círculo equivale al cuadrado de la longitud de un cuadrante.
¿Cómo es posible que no conociera un mejor valor para π o no supiera usar el teorema de Pitágoras? Desde luego que si que lo conocería, pero quiero suponer que Alcuino utilizara estas aproximaciones tan burdas con el único fin de simplificar los cálculos, que son realmente complejos de hacer con números romanos. No hay que olvidar que se trata de unas propuestas para estimular a los jóvenes, y no para sepultarlos con unos largos y tediosos cálculos.
Por último, uno de los problemas guarda una divertida sorpresa:

Problema 43

Proposición de los cerdos.

Cierto hombre tenía 300 cerdos. Mandó matarlos en tres días, pero de manera que cada día se matara una cantidad impar de cerdos. Él deseó que se hiciera lo mismo con 30 cerdos. ¿Qué cantidades impares de cerdos, tanto para 300 como para 30, debían matarse cada uno de los tres días?

Este último problema no tiene solución ya que un número par no puede descomponerse como la suma de tres números impares. Alcuino comenta ésto mismo en la solución y recomienda proponer este problema a aquellos jóvenes que se porten mal, como reprimenda. Por lo visto los problemas de disciplina en las aulas no son un fenómeno único de nuestra época.
Recomiendo leer la obra citada, de la que he podido encontrar online versiones en latín y en inglés, pero lamentablemente ninguna en español.

Esta obra aparece en MTHTICS y está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Unas respuestas de altura

Uno de los problemas más estimulantes de las matemáticas desde la antigüedad es la medición de la altura de objetos. Desde árboles a montañas o edificios, la medición de la altura de los mismos siempre ha traído de cabeza al ser humano porque plantea una dificultad técnica difícil de salvar.
Pero allí donde los capacidad técnica no llega, aparece la capacidad matemática del ser humano. ¿Cómo medir la altura de un árbol, si la parte superior de su copa se va a doblar bajo mi peso? ¿Cómo medir la altura de una montaña si es tan irregular?
Ahora que estamos en temporada de exámenes, voy a traer una anécdota de un estudiante que respondió de una forma muy especial a un examen planteado por su profesor. El examen tenía una única pregunta:

Describe cómo medir la altura de este edificio con la ayuda de un barómetro

¿Cómo lo responderías?

Mientras lo piensas, un poco de historia no vendría mal. Uno de los Siete Sabios de la Grecia Clásica, Tales de Mileto, es conocido por idear la manera de medir la Gran Pirámide de Keops en un viaje que realizó a Egipto.
Según cuentan los historiadores clásicos, Tales realizó una circunferencia en la arena con una cuerda de igual longitud que su altura, a continuación se situó en el centro de la misma y esperó.
Dejó pasar el tiempo y cuando la parte superior de su sombra tocó la circunferencia dio un aviso a su ayudante. En ese instante su sombra medía exactamente lo mismo que su altura.
El ayudante se encargó de realizar una marca en la arena en el mismo punto en el que la sombra del pico de la pirámide tocara la arena. En ese instante la sombra de la pirámide medía lo mismo que su altura. Por lo tanto bastaba con medir dicha sombra para tener la altura deseada.
¡¡¡Ahhh!!! Claro, así si, eso es fácil, ¿no?.

La anécdota prometida trata de un alumno muy especial que respondió de forma muy poco habitual a la pregunta anterior. Como muchas de esas leyendas que corren de “blog a bloca”, la respuesta a la pregunta y sus consecuencias han sido atribuidas a grandes nombres como Feynman, Bohr, etc. Pero fue el profesor Alexander Calandra quien lo publicó en 1959 en un artículo titulado “Angels on a Pin” (ver la historia en Wikipedia).
La historia dice así:

Hace algún tiempo recibí una llamada de un colega que me pidió si podría arbitrar en la calificación de una pregunta de examen. Iba a dar un cero a un estudiante por su respuesta a una pregunta de física, mientras que el estudiante afirmaba que debería recibir la máxima nota y así se haría si el sistema no se hubiera organizado en contra de los estudiantes: El profesor y el estudiante acordaron acudir a un árbitro imparcial, y me eligieron a mi.
Acudí al despacho de mi colega y leí la pregunta del examen: “Demuestra como se puede determinar la altura de un edificio alto con la ayuda de un barómetro”.
El estudiante había contestado: “Lleva un barómetro a lo alto del edificio, átale una cuerda larga, haz que el barómetro baje hasta la calle. Mide la longitud de cuerda necesaria. La longitud de la cuerda es la altura del edificio”.
Hice notar que el estudiante realmente tenía derecho a una buena nota ya que había contestado a la pregunta correctamente. Por otra parte, si se le asignaba una buena nota contribuiría a que recibiese una buena calificación en su curso de física. Se supone que una buena calificación certifica competencia en física, pero la respuesta dada no se correspondía con esto. Sugerí entonces que se le diera al estudiante otra oportunidad para contestar a la pregunta. No me sorprendió que mi colega estuviese de acuerdo, sin embargo si lo hizo el que el alumno también lo estuviera.
Le di al estudiante seis minutos para responder a la pregunta con la advertencia de que la respuesta debía mostrar su conocimiento de la física. Al cabo de cinco minutos, no había escrito nada. Le pregunte si se daba por vencido, pero me contesto que no. Tenía muchas respuestas al problema; estaba buscando la mejor. Al minuto siguiente escribió corriendo su respuesta que decía lo siguiente:
“Lleva el barómetro a lo alto del edificio y asómate sobre el borde del tejado. Deja caer el barómetro, midiendo el tiempo de caída con un cronómetro. Luego usando la fórmula $s=1/2 at^2$, calcula la altura del edificio.”
En este momento le pregunte a mi colega si se daba por vencido. Estuvo de acuerdo y le dio al estudiante la máxima nota.
Al salir del despacho de mi colega recordé que el estudiante había dicho que tenía otras muchas respuestas al problema, así que le pregunte cuales eran. “Oh, si, ” dijo el estudiante. “Hay muchas maneras de determinar la altura de un edificio alto con un barómetro. Por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro, la longitud de su sombra, y la longitud de la sombra del edificio; luego usando una simple proporción, determinas la altura del edificio.”
“Excelente,“ le respondí. “¿Y las otras?”
“Si, “ dijo el estudiante. “Hay un método muy simple que le gustará. En este método se toma el barómetro y se comienza a subir las escaleras. A medida que se van subiendo las escaleras, se marca la longitud del barómetro a lo largo de la pared. Luego se cuenta el número de marcas y esto dará la altura del edificio en unidades barómetro. Un método muy directo.”
“Desde luego, si quiere un método más sofisticado, puede atar el barómetro al final de una cuerda, balancearlo como un péndulo; con él determina el valor de ‘g’ a nivel del suelo y en la parte superior del edificio. De la diferencia entre los dos valores de ‘g’ se puede calcular la altura del edificio.”
Finalmente, concluyó, “hay muchas otras formas de resolver el problema. Probablemente la mejor,” dijo, “es llamar en la portería. Cuando abra el portero, le dices lo siguiente: “Sr. portero, aquí tengo un barómetro excelente. Se lo daré, si me dice la altura de este edificio.”
En este momento le pregunté al estudiante si conocía la respuesta convencional a la pregunta. Reconoció que si, dijo que estaba harto de que los profesores del instituto y de la facultad trataran de enseñarle como tenía que pensar, usando el “método científico,” y a explorar la lógica profunda de la materia de una manera pedante, como se hace a menudo en matemáticas, en lugar de enseñarle la estructura de la materia.

Abrumador, siete maneras diferentes de medir la altura, y seguro que vosotros sois capaces de encontrar muchas más. Basta con utilizar todo lo que se conoce desde un punto de vista creativo.
¡¡¡Suerte estos días con los exámenes finales!!!!

Cartas (mate)mágicas

Resulta interesante hasta que punto las matemáticas pueden resultar sorprendentes e incluso “magia”.
El otro día nos suscribimos a la revista Leo-Leo, revista mensual para niños que les anima a leer y les cuenta diversas y divertidas historias. Como regalo de suscripción traía una “gran caja de magia”. Son trucos de magia bastante clásicos con los que estuve jugando con mi hija un rato.
De entre todos los trucos mágicos, el que me despertó la curiosidad era un juego de seis cartas con números que permitían adivinar la edad del espectador:

Cartas para leer la mente

El truco consiste en pedirle a un espectador que, sin decirle al mago cuál es su edad, escoja las cartas en las que ésta aparezca.
A continuación el mago, con bastante teatro, suma de cabeza el número de la esquina superior izquierda y “voilà”, se obtiene la edad del espectador.
Es un truco infalible si el espectador no hace trampas…
Pero, ¿Por qué funciona?, ¿qué orden siguen los números?
Observemos los números que hay que sumar: 1, 2, 4, 8, 16 y 32. Son las potencias de 2 y en realidad esa es la clave para adivinar el truco, la base 2 y el código binario.
Para entenderlo mejor, hay que recordar los fundamentos del sistema de numeración que empleamos.

El sistema de numeración decimal

Cuando escribimos una cantidad, 578 garbanzos, en realidad estamos describiendo una cantidad que se formaría al juntar 5 paquetes de 100 garbanzos, 7 paquetes de 10 garbanzos y 8 garbanzos sueltos. Este sistema de escribir cantidades forma el sistema de numeración decimal.
Se trata de un sistema de numeración que utiliza diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de los llamados “posicional” es decir, que las cifras anteriores cambian de valor según la posición que ocupen.
Así, en el número anterior, el 578, el 5 en la posición más a la izquierda indica 5 centenas, el 7 en medio simboliza 7 decenas y el 8 final indica 8 unidades.
Esto es algo que aprendemos desde pequeños y que hemos mecanizado hasta el punto de no necesitar recordarlo cada vez que vemos un número escrito. Pero no es el único sistema de numeración que existe. Aquellos familiarizados con los ordenadores les sonará el código binario (base 2), el octal (base 8) o el hexadecimal (base 16).

El sistema de numeración binario

Las cartas anteriores guardan relación con el sistema de numeración binario. Este sistema utiliza sólo dos cifras (0, 1) y es también posicional.
La diferencia con el decimal es el significado de cada posición. Mientras que en el sistema decimal cada posición se refiere a potencias de diez (unidades, decenas, centenas, …), en el sistema binario cada posición hace referencia a las potencias de 2: unidades, parejas, cuartetos, octetos, …

Pero, ¿cómo se escribe un número en base 2?

Veamos un ejemplo, el 45. Con 45 garbanzos puedo formar un paquete de 32 garbanzos y sobran 13. Con los 13 sobrantes no puedo formar ningún paquete de 16 garbanzos, pero si que puedo formar un paquete de 8 garbanzos y sobrarían 5. Con los 5 restantes puedo hacer un paquete de 4 garbanzos y sobra 1. Con éste no puedo hacer ninguna pareja de garbanzos, pero si que sobra 1 garbanzo.

Resumiendo: con 45 garbanzos puedo hacer 1 de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Por lo tanto:

45=101101

Esta conversión se puede hacer de forma más efectiva dividiendo sucesivamente entre 2, pero este proceso de restar resulta más útil para entender la disposición de los números en las cartas.

Y ya que estamos, ¿cómo convertir un número binario en decimal?

Pues este proceso es bastante sencillo, basta sumar las cantidades en las que se encuentre un uno en la notación binaria. ¿No suena esto a algo anteior?
Veamos un ejemplo, el número binario 100110 tiene 1 grupo de 32, 1 cuarteto y 1 par y por lo tanto 32+4+2=38.
Como tenemos una buena memoria enseguida recordamos que esta misma operación es la que tenemos que hacer para calcular el número secreto, la edad desconocida. Debíamos sumar las potencias de 2 en la que estuviera el número, ¿no?.
Pues ese es el truco. Basta colocar en cada cartón aquellos números que posean un grupo del mismo orden que la carta, el primer número de la lista, que será una potencia de 2.
En la correspondiente al 1, todos a los que le sobre una unidad, es decir, los impares.
En la correspondiente al 2, aquellos que en la transformación a binario, tuvieran una pareja.
En la del 4, aquellos que tuvieran un cuarteto, y así con el resto.
Veamos donde debe aparecer el número 45. Con él teníamos 1 grupo de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Entonces debe aparecer en la carta del 32, en la del 8, en la del 4 y en la del 1. De esta forma, al sumar las cartas en las que aparece (32+8+4+1=45) se reconstruye el número.
Fabricar las cartas puede parecer laborioso, pero no es así. En realidad es sencillo si se tiene la posibilidad de cambiar números a notación binaria con sencillez. Hoy día cualquier hoja de cálculo tiene la orden “DEC.A.BIN()” que permite escribir un número decimal en su forma binaria.

Por último, ¿dónde parar la lista?

En principio podríamos llevar la lista hasta el infinito, dado que tenemos infinitos números, pero si queremos fabricar solo 6 cartas, ¿cuál será el último número que deberemos escribir en ellas?.
Bueno, pues si vamos a usar las 6 primeras potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16 y 32, entonces el primer número que no vamos a poder obtener es la siguiente potencia de 2, el 64. Por lo tanto tendremos que parar en el 63.
Por cierto que éste número, el 63, al ser el más grande, tendrá todas las potencias de 2, y se escribirá en binario como 111111.
¿Y con n cartas? Con n cartas usaremos las potencias desde 1 hasta $2^{n-1}$ y por tanto el último número que deberemos incluir en las cartas será $2^n-1$.
Desde luego que en matemáticas hay muchos trucos de prestidigitación, o al menos se lo parecerán a aquellos poco duchos en ello.

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