Problemas para la playa, o algunos mitos desmontados.

Dentro de los numerosos mitos matemáticos, el que más me gusta es el del pequeño Gauss y su rígido profesor de matemáticas.
Corría el año 1784 y Karl, un niño de 7 años asistía por vez primera a su clase de aritmética. El profesor Büttner era un estricto docente que no permitía distracciones en el aula. Nada más empezar la clase, el profesor dictó en voz alta un problema a sus alumnos. Justo cuando terminó, el joven Karl llevó la tablilla con la respuesta a la mesa del profesor con el resultado.
Según se cuenta en el mito, el problema consistía en sumar los números desde el 1 al 100, y el cálculo que hizo el niño Karl fue genial.
En lugar de sumar secuencialmente los números: 1 + 2 + 3 + 4 + …, se dió cuenta de que al sumar los extremos se obtiene siempre la misma cantidad, es decir: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, … Por lo tanto, dado que podemos formar 50 parejas de este tipo con los 100 números, el resultado de la suma total será 50 parejas por 101 igual a 5050. El mito continúa afirmando que gracias a esta habilidad demostrada por Karl, su maestro le consiguió una beca para entrar en el Gimnasium (instituto) y terminó convirtiéndose en Karl F. Gauss, el “Príncipe de las Matemáticas”.
Siempre cuento esta anécdota en clase, y siempre algún alumno pregunta: ¿y quién es el Rey?. La respuesta ya está preparada: “Todavía no existe, pero puedes serlo tú”.
Sin embargo la anécdota, convertida en mito, dista de ser cierta, al menos como la contamos. Para saber toda la verdad al respecto recomiendo a todos que leáis esta entrada del blog de “la mula Francis”.
Tal y como comenta Francis, esa técnica para contar tan genial se conoce cuanto menos desde el siglo VIII de nuestra era. Algo decepcionante, ¿no?

En esta entrada voy a presentarles a uno de los pocos matemáticos conocidos de la Edad Media europea. Se trata de la mano derecha en temas educativos del emperador Carlomagno, y responsable del “Renacimiento Carolingio”, un periodo de renacimiento cultural surgido en dicha corte durante finales del siglo VIII y el IX.

Alcuino de York (735-804) fue un monje de origen anglosajón que fue llamado por Carlomagno para dirigir la Escuela Palatina y se convirtió en el gran organizador de la enseñanza en el reino franco. Ordenó los estudios según las siete artes liberales: el trivium (gramática, retórica y lógica) y el quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música). Está considerado como santo por las iglesias católica y anglicana.
Pero también tiene el mérito de ser el autor del que probablemente sea el primer libro de matemática recreativa de la historia, algo así como el Martin Gardner del siglo VIII. El libro se llama “Propositiones ad acuendos juvenes” (propuestas para provocar a los jóvenes). Una versión en inglés con comentarios de los autores la puedes encontrar en los archivos de MacTutor History of Mathematics. El libro es una colección de problemas con sus soluciones, alguno de los cuales resultarán conocidos a los lectores. Vamos a poner algunos:

Problema 42

Proposición de la escalera que tiene cien escalones.

Una escalera tiene 100 escalones. Una paloma se posó en el primer escalón, dos en el segundo, 3 en el tercero, 4 en el cuarto, 5 en el quinto y así sucesivamente hasta el centésimo. ¿Cuántas palomas había en total?

Seguro que el problema resulta bastante familiar, ¿no? En el libro se adjunta una solución que en esencia es la misma que dio Gauss al problema del maestro, solo que formulada de manera ligeramente diferente:

Solución

Toma la paloma del primer escalón y súmala a las 99 que están posadas en el escalón 99, y tienes 100. Haz lo mismo con el segundo y el 98 y obtienes también 100. Combinando de esta manera todos los escalones, esto es, uno de los más altos con uno de los más bajos, tendrás siempre 100. Pero el escalón 50 está solo, lo mismo que el 100. Suma todos y encontrarás que había 5050 palomas.

Como es de esperar, el texto original utiliza la numeración romana, y cada uno de los problemas son dignos de aparecer en la versión en latín del “Scientific American”, si es que algún día se publica.
Como cabe esperar, entre los cincuenta y pico problemas propuestos hay muchos muy conocidos:
Uno de ellos es todo un clásico de los problemas de ingenio:

Problema 18

Proposición del hombre, el lobo y la cabra.

Un hombre tuvo que trasladar al otro lado del río un lobo, una cabra y un manojo de coles. Y no podía encontrar otro barco, excepto uno que sólo podía soportar a dos de ellos. Tenía la intención de llevar todas las cosas enteras. ¿Cómo fue capaz de pasar el río con los tres?

El siguiente se puede considerar como el predecesor del famoso problema de los conejos de Leonardo de Pisa (Fibonacci). Seguro que éste último estudió este libro y tuvo oportunidad de repensarlo y reformularlo adecuadamente:

Problema 41

Proposición del recinto y la cerda.

Cierto granjero construyó un gran recinto cuadrado en la que colocó una cerda. La cerda dio a luz a siete lechones en el centro de la pocilga. La descendencia, junto con la madre, el octavo cerdo, dieron a luz a otros siete lechones cada uno en la primera de las cuatro esquinas de la pocilga. A continuación, la cerda y toda la descendencia de cada uno da a luz a siete más lechones en la segunda esquina. Lo mismo ocurre en la tercera esquina, y luego en la cuarta esquina. Finalmente la cerda y toda la descendencia cada dan a luz a siete más lechones en el centro de la pocilga cada uno. ¿Cuántos cerdos, como la madre, se encontraban en la pocilga en ese momento?

En problema es similar al de los conejos excepto por el hecho de que Fibonacci incluye un periodo de maduración que Alcuino no tiene en cuenta. El siguiente problema trata de una guerra y un ejército. En la actualidad se nos cuenta hablando de granos de trigo en lugar de soldados y de casillas de ajedrez en lugar de ciudades:

Problema 13

Proposición del rey.

Un rey ordenó a su sirviente recolectar una armada en las 30 ciudades de su reino de la manera siguiente: Debería traer de cada ciudad tantos hombres como soldados llegaran a la misma. El sirviente fue a la primera ciudad solo, entonces fue a la segunda ciudad con otro hombre, a la tercera con otros tres. ¿Cuántos hombres fueron recolectados de las 30 ciudades?

Aunque al principio parece ser un ejército ridículamente pequeño, si hacéis los cálculos os sorprenderá el ejército que reúne. Mil millones de soldados hubieran bastado para conquistar el mundo en aquella época.
A todos estos problemas Alcuino añade su correspondiente solución, aunque alguno tiene algun error guardado en las soluciones:

Problema 23

Proposición del campo triangular.

Hay un campo con 30 pértigas en uno de los lados, 30 pértigas en otro y 18 pértigas en el frente. ¿Cuántos “aripenni” contiene ese campo?

Una pértiga cuadrada equivale a 144 “aripenni”. La solución que proporciona está mal porque no utiliza el teorema de pitágoras para calcular la altura del triángulo. En lugar de esto, promedia la suma de los dos lados con lo que obtiene un valor para la altura igual a los lados del triángulo, 30 pértigas. La colección de problemas tiene algunos errores de este tipo. Otro problema similar tiene que ver con el valor de π:

Problema 25

Proposición del campo redondo.

Un campo redondo que tiene 400 pértigas en su circunferencia. ¿Cuántas “aripenni” caben en su interior?

En este caso para obtener la solución, le asigna a π un valor de 4. De esta forma el área del círculo equivale al cuadrado de la longitud de un cuadrante.
¿Cómo es posible que no conociera un mejor valor para π o no supiera usar el teorema de Pitágoras? Desde luego que si que lo conocería, pero quiero suponer que Alcuino utilizara estas aproximaciones tan burdas con el único fin de simplificar los cálculos, que son realmente complejos de hacer con números romanos. No hay que olvidar que se trata de unas propuestas para estimular a los jóvenes, y no para sepultarlos con unos largos y tediosos cálculos.
Por último, uno de los problemas guarda una divertida sorpresa:

Problema 43

Proposición de los cerdos.

Cierto hombre tenía 300 cerdos. Mandó matarlos en tres días, pero de manera que cada día se matara una cantidad impar de cerdos. Él deseó que se hiciera lo mismo con 30 cerdos. ¿Qué cantidades impares de cerdos, tanto para 300 como para 30, debían matarse cada uno de los tres días?

Este último problema no tiene solución ya que un número par no puede descomponerse como la suma de tres números impares. Alcuino comenta ésto mismo en la solución y recomienda proponer este problema a aquellos jóvenes que se porten mal, como reprimenda. Por lo visto los problemas de disciplina en las aulas no son un fenómeno único de nuestra época.
Recomiendo leer la obra citada, de la que he podido encontrar online versiones en latín y en inglés, pero lamentablemente ninguna en español.

Esta obra aparece en MTHTICS y está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Anuncios

¿Cuánta sombra dan los árboles?

Es un día soleado de finales primavera, uno de esos en los que se agradece un rato de tranquilidad para escuchar el canto de los pájaros sentado a la sombra de un frondoso árbol. Uno de esos pocos días en los que consigues un rato de tranquilidad para descansar.
Escuchando a los gorriones y se viene a la cabeza el romance del prisionero…

Que por Mayo, era por Mayo cuando hace la calor….


by John Kay

Sin embargo, otra idea surge desde lo más profundo del otro hemisferio… Esas hojas así dispuestas, forman capas de hojas que van tapando la luz del Sol, pero ¿cuánta sombra proyectan? ¿Qué cantidad de luz llega al suelo?
Se trata de un problema divertido que necesita de varios pasos para ser resuelto. Empezaremos con las siguientes aproximaciones que permiten formular el problemas más fácilmente.

  • Vamos a suponer que las hojas se disponen en capas. Esas capas se suceden la una a la otra, pero las hojas de cada capa forman una estructura plana o casi plana en la que no hay hojas superpuestas.
  • La estructura de cada capa es similar a las demás. Obviamente no serán totalmente iguales pero si tendrán el mismo patrón y estarán dispuestas a una distancia suficiente.
  • Cada hoja es opaca, es decir, no deja pasar la luz.
  • El área ocupada por una hoja es “aproximadamente” circular.

Estas hipótesis no son estrictamente necesarias, pero ayudan a modelizar la situación.

Sombra de una hoja

Este punto es sencillo. Una hoja tapa justo una superficie igual a su área, que dado que hemos supuesto circular, será $\pi r^2$, siendo $r$ el radio de la hoja.

Sombra de una rama

¿Cuánta luz tapa una rama con sus hojas?. Esto también es fácil, será el área de una hoja multiplicada por el número total de hojas de la rama, que llamaremos $h$.
Es decir, una rama tapará un área igual a $h \pi r^2$.

Sombra de una capa de ramas

Varias ramas situadas a la misma altura, formarán en el árbol una estructura que llamaremos capa. ¿Cuánta luz tapa una capa de hojas? De nuevo la repuesta es número de hojas de una capa multiplicado por el área de una hoja, justo igual que antes.
Sin embargo, para valorar cuántas hojas tiene una capa, vamos a tener que pensar un poco más.
Un árbol tendrá un número muy grande de hojas $N$, repartidas en una serie de $n$ capas. Como hemos dicho, cada capa puede estar formada por una o varias ramas que no se superponen entre sí.
Como suponemos que las capas de hojas son semejantes entre sí, cada una tendrá un total de $N/n$ hojas.
Por tanto, el área tapada por cada una de las capas del árbol será $S_n=N \pi r^2/n$.

Ahora con fracciones

No nos asustemos porque hasta ahora todo ha sido fácil. Vamos a dar una vuelta de tuerca más.
Supongamos que la zona total que ocupa el árbol es un área que llamaremos $S$. Es en este área donde las capas de hojas van a ir tapando la luz, dejando solo unos resquicios por los que se van colando pequeños rayos, capa tras capa.
Cada capa tapará una cierta porción de área. El valor de dicha porción de área que tapa cada una de las $n$ capas es $S_n/S$, el área que tapa una capa entre en área total del árbol.
Por lo tanto, la fracción de área que quedará libre será $1-S_n/S$, es decir: $$1-\frac{N \pi r^2}{n S}$$

Contando estrellas

Resulta complicado contar el número total de hojas de un árbol. Serán muchas, y no queremos esperar a que se caigan para contarlas, así que vamos a idear una forma de saltarnos este paso.
Para ello vamos a tomar una superficie unidad y contar cuántas hojas hay en ese área. Eso es similar a lo que hacemos para contar estrellas o las gotas de pintura en la pared.
Llamaremos a ese valor densidad de hojas $d$. Esta densidad tiene que ser la misma, aproximadamente, en todo el árbol, y por tanto deberá ser igual al número total de hojas entre la superficie total ocupada por el árbol $d=N/S$.
Con esto la fracción de área que quedará libre que hemos calculado anteriormente se puede expresar: $$1-\frac{d \pi r^2}{n}$$

Capa tras capa…

Llegados a este punto, viene bien recapitular. Acabamos de obtener una fórmula que nos sirve para calcular la fracción de área libre que deja una capa de hojas.
Esta fracción, conocidos los valores de los parámetros, tendrá un valor que podremos calcular. Valdrá por ejemplo 1/10 o 1/124.
Tomemos un valor sencillo para ejemplificar. El que la fracción valga 1/3 querrá decir que de la luz que llega a la primera capa solo 1/3 pasará a la segunda capa.
Pero la segunda capa también dejará pasar solo 1/3 de la luz que le llega por lo que a la tercera le llegará solamente … (1/3 · 1/3 = 1/9)… 1/9 de la luz inicial.
Pero la tercera también dejará pasar solo 1/3 de la luz total, y así sucesivamente las $n$ capas. Por tanto la fracción de luz que atraviesa finalmente las $n$ capas se calculará multiplicando la fracción por si misma tantas veces como capas tenga el árbol.
Si volvemos a nuestra fórmula y aplicamos el razonamiento anterior podremos calcular la fracción de luz que atraviesa una árbol con $n$ capas. Si llamamos $F_n$ a esa fracción, tendremos: $$F_n=\left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Dicho valor es justo lo que queríamos calcular. Ahora solo tenemos que estimar valores creíbles para los datos, labor que dejo a los lectores.

Hasta el infinito y más allá…

Pero no acaba aquí el asunto, porque podemos llevar los cálculos un poco más allá. ¿Qué pasaría si en número de capas es muy grande? Cada capa tendría menos hojas, pero al ser muchas más, ¿Cuál será la fracción total de luz que atraviesa la copa del árbol?
Para eso tenemos el cálculo de límites, del cuál se ha hablado en dos entradas anteriores: No pisar el césped y Pasito a paso. Límites laterales. Ahora se trata de ver a qué valor se acerca la fracción de luz que atraviesa las $n$ capas cuando este número de capas tiende a infinito.
Está claro que la fracción de luz que traviesa cada capa, al ir siendo estas cada vez más pequeñas, será cada vez mayor, aproximándose a valer 1. Pero por contra, tendremos cada vez más capas, que aunque quiten poca luz, siempre quitarán algo. Dado que el número de capas tiende a infinito, esto hará que la cantidad de luz que pase tienda a ser cero.
¿No es esto contradictorio? Por una parte debería pasar toda la luz porque tenemos capas que quitan muy poca luz. Pero por otro lado parece que deberíamos tener una sombra absoluta al tener una cantidad tan grande de capas.
Estas situaciones contradictorias aparecen frecuentemente en el cálculo de límites y por tanto son muy conocidas y pueden ser resueltas, normalmente, con poca dificultad. Se denominan indeterminaciones y aprender a solventarlas constituye el parte núcleo principal de conocimientos que todo alumno debe adquirir en su formación matemática en el bachillerato y los primeros cursos de universidad.
En este caso el límite a calcular es el siguiente: $$F=\lim_{n\to \infty} F_n= \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Afortunadamente es una de las primeras indeterminaciones que se aprenden a resolver. Su valor es: $$F=e^{-d \pi r^2}$$
Fórmula corta y simple, con el número e=2.71828, la densidad $d$ y el área de una hoja.

Así que la próxima vez que os refugiéis del calor debajo de un árbol, pensad en si los cálculos están correctamente hechos o si se os ocurre una forma mejor de hacerlos. Seguro que vais a poder mejorar la estimación.
Sigue leyendo