Un fin de semana para ordenar los libros

Este fin de semana me toca ordenar mis libros. He sufrido un ultimatum por parte de mi mujer: “o los ordeno o terminan en la biblioteca local como donación anónima”.

Sin embargo, como no me apetece empezar tan pronto, he decidido refrescar la memoria con una serie de vídeos que explican diferentes maneras de ordenar una lista de elementos de una forma muy entretenida. Han sido elaborados por el equipo del profesor Z. Kátai de la Sapientia University de Rumanía, como parte del proyecto Algo-Rythmics.

Los “algoritmos de ordenación” son métodos diseñados para recolocar una lista de elementos de menor a mayor siguiendo algún criterio. Todos los hemos utilizado, de forma más o menos consciente, en nuestra vida cotidiana al ordenar, por ejemplo, una baraja de cartas. Incluso estoy seguro que cada uno tiene el suyo propio. Los ordenadores ordenan elementos de forma continua, y aquellos que estudian programación están muy acostumbrados a los diferentes métodos que existen.
Veamos algunos de ellos, los más elementales:

Algoritmo de inserción

Este algoritmo quizás sea uno de los más obvios para una persona. Consiste en ordenar los dos primeros, a continuación se coge el tercer elemento y se le coloca en su posición con los otros dos. Se toma el cuarto y se le coloca en su posición, y así hasta terminar con la lista completa.
Puedes verlo “en danza” en el siguiente vídeo:

El algoritmo es sencillo pero nuestra experiencia nos dice que para ordenar listas grandes acaba siendo demasiado largo ya que obliga a una gran cantidad de comparaciones para los últimos elementos de la lista.

Ordenamiento por selección

Este es otro de los algoritmos más elementales. Consiste en buscar el elemento más pequeño e intercambiarlo por el primero. Tomamos la lista sin el primer elemento y repetimos el proceso, buscamos el más pequeño y lo intercambiamos por el segundo. Repetimos el proceso hasta el final.

Una variante no requiere del intercambio, sino que basta con tomar el pequeño, luego el segundo, etc. Al igual que en el caso anterior, cuando las listas son muy largas, el algoritmo se vuelve poco eficiente al necesitar un montón de comparaciones para encontrar el mínimo en cada paso.

A continuación veremos otros dos algoritmos más eficientes, es decir, que necesitan de un menor número de pasos para completar la ordenación.

El ordenado rápido

El algoritmo de ordenado rápido consiste en lo siguiente:

  • Se elige un elemento de la lista (pivote).
  • Se recolocan todos los elementos de manera que los menores queden a un lado y los mayores al otro. En este momento el pivote está en su sitio de la lista.
  • Se repite el proceso con las dos partes que quedan, la de los elementos más pequeños y la de los más grandes.

Es aconsejable, pero no indispensable, tomar como pivote un elemento lo más centrado posible. Así el algoritmo resulta más eficiente. Este método se llama así porque es el más rápido de todos, eso si, siempre que se acierte la elegir el pivote.

Ordenamiento por mezcla

Fue desarrollado por el matemático John Von Neumann, es una aplicación de la técnica “divide y vencerás” y resulta muy eficiente para listas muy grandes. El algoritmo consiste en separar la lista en grupos más pequeños, ordenarlos cada uno y luego ir mezclando los grupos.

La lista se divide en dos grupos, y cada uno en otros dos, y así de forma recursiva. Cada pequeño grupo se ordena y luego se mezcla con los compañeros. Esta mezcla siempre es más fácil al estar los grupos ordenados porque bastará comparar los primeros elementos de cada grupo y luego colocarlos por orden.

En la web del proyecto Algo-Rythmics se muestra además el funcionamiento de otros dos el “ordenamiento burbuja” y el “ordenamiento shell”. También tiene una interesante animación en la que se comprueba la velocidad de cada método. Como es obvio, el que gana es el ordenamiento rápido (el de mezcla no “compite”).

Un momento del test de eficiencia. El ordenamiento rápido ya ha terminado mientras que los otros se afanan en terminar…

También tienen un canal de Youtube: AlgoRythmics con todos los vídeos. También puedes informarte de más algoritmos de ordenación en la Wikipedia, en la entrada Algoritmo de ordenamiento.

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Fibonacci y la divina proporción

Después del descanso vacacional, vamos a empezar esta nueva temporada con un tema muy mediático, del que se han escrito innumerables páginas, no siempre con el rigor adecuado. Sin embargo siempre es la punta de lanza con la que la divulgación matemática se abre camino.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci, una secuencia de números que el gran público conoce desde que el escritor Dan Brown, en la novela “El código Da Vinci” la popularizó.

En realidad esa secuencia parte de un problema que el matemático Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci escribió en su obra “Liber abaci” (una copia en inglés la tienes en “Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation” de L. Singler (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences)):

“Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?”

Como ya se trató en un post anterior sobre Alcuino de York, el problema no es del todo original (ver el problema 42 del post), si bien lo que introdujo Fibonacci fue un periodo de maduración de un mes, que Alcuino no tiene en cuenta.

La solución de dicho problema da lugar a una sucesión de números, llamada de Fibonacci en su honor:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Para saber cuántos conejos tendremos el próximo mes habrá que sumar el número de conejos que tenemos más el número de hijos, que es igual al número de parejas adultas que tenemos. ¿Y cuántos conejos adultos tenemos? Como los conejos tardan un mes en madurar, tendremos tanto adultos como conejos había el mes anterior.

Esto significa que para saber los conejos que tendré el próximo mes, habrá que sumar los conejos que tenemos más los que había el mes anterior, o escrito en una fórmula:

a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}

Siendo a_{n+1} los conejos que tendremos el próximo mes, a_{n} los que tenemos éste, y a_{n-1} los del mes anterior. A esto hay que añadir que empezamos con una pareja de conejos jóvenes (a_1=1) y por tanto en el mes siguiente seguiré teniendo una pareja (a_2=1).

Bonita representación en espiral de la sucesión de Fibonacci.

Para obtener el término general de dicha sucesión se suele emplear álgebra matricial, lo cual queda fuera de cualquier curso de secundaria (“Introduction to linear algebra” de G. Strang, Wellesley Cambridge Press). Sin embargo hay una manera de obtener dicho término general sin emplear complejas matemáticas, tan solo unas pocas operaciones. Para ver cómo es posible, necesitamos de la razón áurea.

El número de Oro

El número de oro, razón áurea, divina proporción,… Muchos son los nombres que se le dan. Se trata de un número irracional algebraico que se obtiene en geometría como resultado de dividir un segmento de manera que la relación que hay entre el segmento y la mayor de las partes es la misma que hay entre dicha parte y la menor.

\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

Operando adecuadamente con la proporción, es posible llegar a formularla como una ecuación algebraica:

x^2=x+1

Las soluciones son dos números, el llamado áureo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618… y otro, menos conocido que llamaremos \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618…

Son muchas las propiedades que se le atribuyen al número, en especial la propiedad de que allí donde aparece, está la belleza. Sin embargo no es mi objetivo ahora contarlas, sino tratar tan solo una de dichas cualidades, una muy matemática.
Bastará con operar un poco con la ecuación x^2=x+1 porque queremos encontrar una expresión sencilla para las potencias de los dos números anteriores, el áureo \phi y su hermano \varphi.

Si multiplicamos x^2=x+1 por x se tiene x^3=x^2+x=(x+1)+x=2 x+1. Si volvemos a multiplicar x^4=2x^2+x=2(x+1)+x=3x+2

Podemos seguir un poco más esta secuencia, de manera que las potencias del número áureo (y de su hermano) valen

x^1=1x+0
x^2=1x+1
x^3=2x+1
x^4=3x+2
x^5=5x+3
x^6=8x+5
x^7=13x+8
x^8=21x+13

Nos fijamos en la parte derecha de la lista anterior. ¿No os suenan de algo esos coeficientes? Pues si, se trata de la sucesión de Fibonacci. De hecho es relativamente sencillo demostrar por inducción (os lo dejo como ejercicio) que las potencias del número áureo (y las de su hermano) cumplen

x^n=a_n x+a_{n-1}

Siendo a_n el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

Esto quiere decir lo siguiente:

\phi^n=a_n\phi+a_{n-1} \varphi^n=a_n\varphi+a_{n-1}

Llegados a este punto, ya hemos superado todas las dificultades para obtener una expresión para el término general de la sucesión de Fibonacci.

Término general de la sucesión de Fibonacci

Las dos expresiones anteriores son muy similares, salvo por el hecho de que se refieren a dos números diferentes, el áureo y su hermano. Como queremos obtener el término general de la sucesión a_n, restamos ambas expresiones y nos queda:

\phi^n - \varphi^n=a_n (\phi-\varphi)

Dado que \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} y \varphi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, si los restamos da \sqrt{5} y por tanto

a_n=\frac{\phi^n - \varphi^n}{\sqrt{5}}=\frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}

La expresión no es que sea muy bella, sin embargo asombra por la simplicidad de los argumentos empleados.

Si la observamos detenidamente y tenemos en cuenta que las potencias de \varphi se van acercando a cero, se tiene que un término cualquiera de la sucesión es en realidad una potencia del número áureo dividida entre la raíz de 5.

a_n \approx \phi^n/\sqrt{5}

De hecho el error que se comete es \varphi^n/\sqrt{5}. Por tanto, si queremos calcular valores grandes de la sucesión, resulta más sencillo tomar su aproximación. En la siguiente tabla se comparan ambos valores

Como se puede apreciar, desde el primer momento, con un simple redondeo se obtiene el término de la sucesión deseado.

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Brotes verdes, envolventes macroeconómicas y la derivada segunda

Hoy 1 de mayo, día del trabajo, y dada la situación actual, vamos a hablar un poco de economía y de previsiones económicas, o de los fundamentos de éstas, que no requieren grandes conocimientos matemáticos.
El viernes pasado, se aprobó en Consejo de Ministros un paquete de medidas para “estimular el crecimiento”, pero a cambio el Gobierno rectificó sus previsiones económicas que daban el 2014 como el año en el que saldríamos de la crisis. Una lástima, porque yo ya estaba convencido de que esto era cuestión de un par de días…
En la rueda de prensa posterior, en la intervención de nuestro Ministro de Economía y Competitividad empezó hablando de las “envolventes macroeconómicas” en unos términos en los que nos recordó a los ya famosos “brotes verdes” del gobierno anterior.
Según lo pintaron, parecería como si detrás de todo ello hubiera una oscura teoría económica con indicadores y datos a los que solamente ellos tienen acceso y que indefectiblemente nos llevan a creer en ellos. Sesudos cálculos basados en complejísimas hojas de cálculo con las que se puede conocer hasta el precio del coche que te vas a comprar en 2015…
La realidad es otra muy distinta, y como recientemente se comprobó en el polémico caso del informe de los economistas Reinhart y Rogoff, los cálculos no son tan sesudos ni las hojas de cálculo tan complejas, sino que incluso pueden tener fallos “ridículos”.
Si ánimo de enmendar la plana a nadie, vamos a ver como es posible realizar nuestras pequeñas predicciones de crecimiento con los que dar nuestras pequeñas ruedas de prensa en la comunidad de vecinos.
Vamos a analizar esas envolventes macroeconómicas tan complejas que parecen sacadas de lo más profundo de los tomos de una biblioteca económica y que nosotros, terribles mortales, no seremos capaces de comprender.

Los datos

Para cualquier estudio se necesitan datos, para ser un buen economista hace falta tener una buena fuente de datos, al menos de aquellos datos que apoyen tus teorías.
Seguro que el ministro ha manejado complejos datos como la balanza de pagos, el tipo de cambio del bono a 10 años, la evolución del precio de las materias primas, etc, pero como yo solo soy un simple mortal, usaré el PIB, el producto interior bruto como indicador de la economía del país.
Y, ¿de dónde se sacan los datos del PIB? Pues esto es sencillo, en la página web del INE se encuentran a disposición de todos los españoles los datos más diversos, entre ellos los del PIB.
El último dato publicado es del cuarto trimestre de 2012, seguro que el gobierno tiene acceso al del primer trimestre de este año, pero nos conformaremos con ello. De entre todos los datos que el INE nos ofrece vamos a elegir los del PIB corregidos de Rentas a precio de mercado por trimestres desde el segundo trimestre de 2011, que es el periodo afectado por las “envolventes” del partido que nos gobierna. La tabla con los datos obtenidos es la siguiente:

Periodo 2011TII 2011TIII 2011TIV 2012TI 2012TII 2012TIII 2012TIV
PIB
(mill de €)
266211 266282 265782 263846 262979 263421 260958

Las envolventes

A continuación procedemos a realizar complejos y sesudos cálculos. Para ello introducimos los datos en una hoja de cálculo y los representamos en un diagrama de barras.
La “envolvente” la vamos a obtener realizando un ajuste de los datos. Tomaremos un ajuste polinomial a un polinomio de tercer grado. Tomamos uno de tercer grado porque así podremos tener un máximo, un mínimo y un punto de inflexión. Este último es muy importante en lo que a informes económicos se refiere porque marca el punto en el que un gobierno desesperado se da cuenta de que “el fin de la crisis está cerca”, “se vislumbra el final del túnel”, en definitiva, aparecen los “brotes verdes”.

El estudio económico

El ajuste polinómico ha arrojado como resultado la siguiente función:

f(x)=11,41x^3 - 206,3 x^2 + 155,2 x + 266430

Ahora procederemos a ver que nos dice esta función de ajuste. Para ello buscaremos sus máximos y mínimos relativos y su punto de inflexión. Sus derivadas primera y segunda son

f'(x)=34,23 x^2 -412,6 x + 155,2 \quad \quad \quad \quad f''(x)=68,46 x-412,6

Anulando las derivadas obtenemos los puntos deseados. El máximo relativo se encuentra en x=0.39, es decir, durante el segundo trimestre de 2011. Aquí el gobierno acababa de aterrizar, pasados ya los 100 primeros días de mandato y las cosas parecían ir viento en popa.
El punto de inflexión se encuentra en x=6,03, es decir en el tercer trimestre de 2012. Hasta ahí habíamos estado cayendo sin control, es decir con derivada segunda negativa. A partir de este punto la derivada segunda es positiva y por tanto seguimos cayendo, pero ahora en forma de U, es decir, que cada vez caeremos menos. En jerga política “se frena la desaceleración de la economía”.
¿Y cuándo empezaremos a crecer? ¿Cuándo llegaremos al mínimo? El mínimo se encuentra en x=11,67 que es a finales de 2013 o principios de 2014, situación más optimista de la que planteó el gobierno el pasado viernes y que se parece más a lo que nos aseguraban antes.

Otros escenarios

El análisis realizado es muy débil como se verá a continuación. Para ello vamos a realizar otros dos análisis similares cambiando la cantidad de datos utilizados.
En primer lugar tomaremos un trimestre más, el primer trimestre de 2011. Si repetimos los pasos dados anteriormente se obtienen unos resultados muy esperanzadores. El punto de inflexión habría ocurrido entre el primer y el segundo trimestre de 2012, mientras que el mínimo se alcanzaría en el primer trimestre de 2013, y a partir de aquí empezaríamos a crecer.

Ajuste: f(x) = 35.41x^3 - 621.1 x^2 + 2460 x + 263340
Máximo: 2º trimestre de 2011
Punto de Inflexión: 2º trimestre de 2012
Mínimo: 1º trimestre de 2013
Ya estaríamos creciendo !!!!

El segundo de los escenarios lo obtendremos quitando el segundo trimestre de 2011. Con un dato menos que el primero de los análisis, el resultado es bastante descorazonador ya que en este caso el punto de inflexión estaría en el primer trimestre de 2012, pero a diferencia de los casos anteriores, no tiene mínimo, por lo que la economía continuaría cayendo indefinidamente.

Ajuste: f(x) = -61.34 x^3 + 638.6 x^2 - 2894 x + 268830
Punto de Inflexión: 1º trimestre de 2012
No tiene puntos estacionarios, cae indefinidamente!!!!

Es decir, según queramos afirmar que vamos bien o muy mal, podremos usar datos que así lo aseguren.

Conclusión

La conclusión que podemos sacar de esto es que, muy a nuestro pesar, seguiremos cayendo durante este año, y con un poco de suerte tocaremos fondo a principios del año que viene. Lo único que parece quedar claro de todo esto es que ya hemos pasado por el punto “mágico”, ese punto en el que dejamos de caer cada vez más rápidos y seguimos cayendo, pero de forma más suave, cada vez menos.
En matemáticas, este punto se llama “punto de inflexión” y posee propiedades muy interesantes. Por ejemplo es el punto en el que la tangente a la curva corta a dicha curva en el punto de tangencia. Separa zonas de diferente concavidad, es decir, las funciones pasan de curvarse hacia abajo a hacerlo hacia arriba, según hemos tratado en esta entrada.
Sin embargo las matemáticas también nos enseñan que cambiar de concavidad no implica que vamos a tocar fondo. No todas las funciones con derivada segunda positiva, es decir, curvadas hacia arriba, con forma de U, llegan a tocar fondo. Ese el el caso de la función

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

Trasladado a la economía, la curva roja explicaría lo que le pudo suceder a Japón, un país que en los años 80 y 90 prometía ser la gran potencia del futuro, similar a la actual China, y que tras una crisis no ha vuelto a crecer de forma significativa. Esperemos que no sea este nuestro caso…
En definitiva, las predicciones económicas tienen una técnica con principios muy elementales, y que sin embargo solo los buenos economistas consiguen ser escuchados. Se trata más de un arte que de una ciencia.

Pasito a paso. Límites laterales

En una entrada anterior trabajábamos con una definición de límite muy técnica y que resulta, por tanto, de difícil comprensión.
Desde un punto de vista didáctico, y pensando más en un nivel de secundaria, creo que resulta mucho más interesante el cálculo de límites mediante la idea “me acerco a…”, algo similar a la carrera entre Aquiles y la tortuga en la que veíamos a ambos corredores como se acercaban a un punto de la carrera, la meta, sin llegar nunca a ella, gracias a una marcha un tanto especial.
Para ello la tortuga avanzaba cada vez “la mitad” del recorrido que le quedaba hasta la meta, haciendo por tanto imposible que finalmente llegara hasta ese punto.
Algo similar se puede implementar con funciones para definir su límite cuando $x$ tienda a algún $x_0$. Bastará con dejar que la tortuga siga su camino de manera que $x_0$ sea su destino y ver como se comporta la imagen de dichos valores a través de una función.
Pero la tortuga podrá acercarse a $x_0$ por la izquierda o por la derecha, ¿no?. La respuesta es afirmativa, además se trata de una pregunta importante, porque pone en evidencia la necesidad de definir dos límites diferentes, el límite por la izquierda y el límite por la derecha, que aunque habitualmente serán iguales, habrá ocasiones en las que no.
Esto hay que detallarlo un poco más, y para ello lo mejor es disponer de una buena función que nos sirva de ejemplo: $$f(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x-3}$$
Esta función está perfectamente definida para todos los valores que queramos elegir para $x$ excepto en $x=3$, ya que si se sustituye dicho valor, ambos, numerados y denominador se anulan y me queda una expresión que no se puede calcular. Esto es un problema. ¿Qué pasará entonces cuando yo me acerque a $x=3$? Si voy “poquito a poquito” como la tortuga, ¿Llegaré a algún valor?, ¿existe límite de la función cuando $x$ tiende a 3?
Lo mejor es calcularlo, para ello usaremos una hoja de cálculo sobre la cuál podremos realizar nuestras cuentas. Existen un sinfín de hojas de cálculo y en todas ellas el procedimiento a seguir es muy parecido. La más conocida es Excel de la suite Office de Microsoft, auque en este ejemplo voy a hacerlo con la hoja de cálculo “Calc”, de la suite LibreOffice que se trata de software libre. Para ver cómo se hacen los cálculos insertaré capturas de pantalla.
Para cercarnos “poco a poco” a $x=3$, lo haremos en primer lugar desde su izquierda, es decir, desde los menores que 3. En matemáticas esto se simboliza añadiendo un superíndice al número. En este caso se usa el signo menos porque los negativos quedan a la izquierda. Técnicamente se escribe:
$$\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)$$
¿Qué valores de $x$ elegimos? Pues en realidad da un poco igual siempre que acabemos finalmente en 3, después de un sinfín de pasos. La tortuga y Aquiles seguirían una sucesión de pasos que sería $\{2, 2.5, 2.75, 2.875, 2.9375, …\}$. Sin embargo, yo prefiero utilizar otra sucesión de pasos que además de ser más evidente, es más rápida: $$x_n=\{ 2, 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, …\}$$
Al añadir cada vez un 9 más a la derecha del número se ve muy claramente que en cada paso estamos más cerca que antes del valor deseado, al cual sólo llegaremos después de un sinfín de pasos.

Aunque ya se podría calcular los valores de la función, creo que resultará más sencillo si previamente se llama $x$ al conjunto de valores que hemos escrito. De esta forma es mucho más sencillo introducir una fórmula, sin tener que cambiar su expresión en cada celda. Para ello, seleccionamos con el ratón todas las celdas en las que hemos escrito los valores de $x$ y en el menú Insertar desplegamos el menú Nombres y elegimos la opción Definir:

En la ventana que se abre bastará poner únicamente el nombre que queramos, en este caso, $x$.
A continuación hay que calcular el valor de la función en cada uno de los valores de $x$. Para ello basta escribir la fórmula de la función[=(x^2-9)/(x-3)] en la primera celda y copiarlo en el resto. Ésto último se hace simplemente usando el pequeño cuadradito negro situado en la parte inferior derecha del marco negro que rodea a la celda actual:

¿Dónde acabará por lo tanto el valor de la función cuando $x$ se acerca a 3 desde la izquierda? Es evidente que terminará valiendo 6, por tanto podemos escribir:
$$\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=6$$
De manera análoga podemos acercarnos desde la derecha. En este caso se emplea el superíndice “+” porque los positivos se encuentran en la derecha. Ahora elegimos la sucesión de valores para $x$: $\{4, 3.1, 3.01, 3.001, …\}$ que evidentemente se aproxima a $3$, aunque nunca llegarán a valer 3.
Si introducimos esta sucesión en el lugar de la anterior se tiene:

$$\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=6$$

Es evidente que ahora el límite también es 6. Como ambos límites son iguales, entonces la función elegida tiene límite en $x=3$ y ese límite en 6.
En conclusión, se puede utilizar una hoja de cálculo para calcular el valor de los límites laterales de una función en un punto. Esto es especialmente útil cuando queremos adquirir un conocimiento intuitivo del concepto de límite, tan fundamental en el Cálculo y esencial para que esta disciplina no se haga tan ardua a los alumnos. Bastará con elegir unas cuantas funciones bien escogidas y dárselas a los alumnos para que estos implementen el cálculo y luego poder discutir en clase sus resultados. Resulta muy gratificante ver que lo entienden y lo recuerdan muchos años después.

No pisar el césped

El concepto de límite es el fundamento del Cálculo, y en clase permite introducir la posibilidad matemática de movernos por una función, al menos de forma local.
Por otra parte, es una de las primeras veces que el alumno toma contacto con la notación matemática avanzada, y por eso resulta muy interesante poder enseñarle ese lenguaje lleno de $\forall \epsilon$ y $\exists \delta$.
Sin embargo resulta complicado enseñarles visualmente cuál es su significado estricto, en especial aquellos a los que nos cuesta un mundo hacer un dibujo coherente. En ese sentido, un buen gráfico vale más que mil rayajos en la pizarra.
Para ello he creado el siguiente applet de geogebra que me permite detallar cada uno de los conceptos que se esconden dentro de la siguiente definición:

Definición de límite

Definición:(Cauchy-Weierstrass) Sea \(f(x)\) una función definida en un abierto \(D\) que contiene a \(x_0\), se dice que \(L\) es el límite de la función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) y se escribe $$\lim_{x \to x_0} f(x)=L$$ si \[\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0\ :\ |x-x_0| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-L| \leq \epsilon\]

Gráficamente, lo que dice esta definición es que la función tendrá como límite \(L\) si para cualquier valor de \(\epsilon\) (altura del recuadro), podemos encontrar al menos un valor de \(\delta\) (anchura del recuadro) de manera que la función “no pise el césped”, es decir la zona verde.
En el applet se puede variar el punto \(x_0\) o el de unión para que la función deje de tener límite.

Si quieres descargarte el applet puedes hacerlo en mi sitio de Geogebratube.
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