Enseñar matemáticas en la actualidad: ideas y recursos

Tras el parón obligado por los exámenes, y después de gastar dos o tres bolígrafos rojos, retomo el blog, al que he tenido un tanto olvidado el mes pasado.
En esta entrada me gustaría presentaros un curso organizado por un par de amigos y compañeros. Se enmarca en el evento “Universidad de Otoño”, un conjunto de cursos para docentes que organiza todos los años el Colegio de Doctores y Licenciados en Filosofía y Letras y en Ciencias de la Comunidad de Madrid.
El título del curso es:

Enseñar matemáticas en la actualidad: ideas y recursos

El curso se desarrollará las tardes del 16 al 20 de septiembre en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense y para aquellos que queráis inscribiros, podéis hacerlo desde este enlace. El curso está pensado para profesores de Secundaria, estudiantes de Grados, y recién licenciados y graduados en áreas de ciencias. Además ofrece 2 créditos de sexenios, para aquellos que puedan optar a ellos.
En el curso trabaja, de modo general, en tres líneas diferentes:

  • Interacción entre el docente, la investigación en matemáticas y su aplicación al mundo real.
  • Aportar, compartir y desarrollar experiencias docentes usando la historia de las matemáticas, aplicaciones informáticas, y los foros como herramientas para compartir ideas.
  • Averiguar y divulgar el estado actual de la enseñanza de las matemáticas en secundaria.

Un programa detallado lo podéis encontrar en la web del curso: https://sites.google.com/site/cdlmatematicas2013/

Pero lo que más interesante me parece del mismo, y que lo convierte en algo interesante, es que no se trata de un curso corriente en el que los asistentes acuden a escuchar al ponente de turno. Muy al contrario se pide la participación de todos aquellos que lo deseen, dándole así un formato de “congreso”. De esta forma cualquiera puede presentar, en sesiones de 15 minutos, experiencias, ideas o recursos, permitiendo así una implicación más directa, un encuentro y un debate entre todos los participantes. Posteriormente a la celebración del curso, todas las comunicaciones estarán disponibles en la web y serán publicadas con el correspondiente ISBN.

Si os animáis, apuntaos y presentad alguna comunicación, seguro que merece la pena. Nos vemos esos días por allí.

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Unas respuestas de altura

Uno de los problemas más estimulantes de las matemáticas desde la antigüedad es la medición de la altura de objetos. Desde árboles a montañas o edificios, la medición de la altura de los mismos siempre ha traído de cabeza al ser humano porque plantea una dificultad técnica difícil de salvar.
Pero allí donde los capacidad técnica no llega, aparece la capacidad matemática del ser humano. ¿Cómo medir la altura de un árbol, si la parte superior de su copa se va a doblar bajo mi peso? ¿Cómo medir la altura de una montaña si es tan irregular?
Ahora que estamos en temporada de exámenes, voy a traer una anécdota de un estudiante que respondió de una forma muy especial a un examen planteado por su profesor. El examen tenía una única pregunta:

Describe cómo medir la altura de este edificio con la ayuda de un barómetro

¿Cómo lo responderías?

Mientras lo piensas, un poco de historia no vendría mal. Uno de los Siete Sabios de la Grecia Clásica, Tales de Mileto, es conocido por idear la manera de medir la Gran Pirámide de Keops en un viaje que realizó a Egipto.
Según cuentan los historiadores clásicos, Tales realizó una circunferencia en la arena con una cuerda de igual longitud que su altura, a continuación se situó en el centro de la misma y esperó.
Dejó pasar el tiempo y cuando la parte superior de su sombra tocó la circunferencia dio un aviso a su ayudante. En ese instante su sombra medía exactamente lo mismo que su altura.
El ayudante se encargó de realizar una marca en la arena en el mismo punto en el que la sombra del pico de la pirámide tocara la arena. En ese instante la sombra de la pirámide medía lo mismo que su altura. Por lo tanto bastaba con medir dicha sombra para tener la altura deseada.
¡¡¡Ahhh!!! Claro, así si, eso es fácil, ¿no?.

La anécdota prometida trata de un alumno muy especial que respondió de forma muy poco habitual a la pregunta anterior. Como muchas de esas leyendas que corren de “blog a bloca”, la respuesta a la pregunta y sus consecuencias han sido atribuidas a grandes nombres como Feynman, Bohr, etc. Pero fue el profesor Alexander Calandra quien lo publicó en 1959 en un artículo titulado “Angels on a Pin” (ver la historia en Wikipedia).
La historia dice así:

Hace algún tiempo recibí una llamada de un colega que me pidió si podría arbitrar en la calificación de una pregunta de examen. Iba a dar un cero a un estudiante por su respuesta a una pregunta de física, mientras que el estudiante afirmaba que debería recibir la máxima nota y así se haría si el sistema no se hubiera organizado en contra de los estudiantes: El profesor y el estudiante acordaron acudir a un árbitro imparcial, y me eligieron a mi.
Acudí al despacho de mi colega y leí la pregunta del examen: “Demuestra como se puede determinar la altura de un edificio alto con la ayuda de un barómetro”.
El estudiante había contestado: “Lleva un barómetro a lo alto del edificio, átale una cuerda larga, haz que el barómetro baje hasta la calle. Mide la longitud de cuerda necesaria. La longitud de la cuerda es la altura del edificio”.
Hice notar que el estudiante realmente tenía derecho a una buena nota ya que había contestado a la pregunta correctamente. Por otra parte, si se le asignaba una buena nota contribuiría a que recibiese una buena calificación en su curso de física. Se supone que una buena calificación certifica competencia en física, pero la respuesta dada no se correspondía con esto. Sugerí entonces que se le diera al estudiante otra oportunidad para contestar a la pregunta. No me sorprendió que mi colega estuviese de acuerdo, sin embargo si lo hizo el que el alumno también lo estuviera.
Le di al estudiante seis minutos para responder a la pregunta con la advertencia de que la respuesta debía mostrar su conocimiento de la física. Al cabo de cinco minutos, no había escrito nada. Le pregunte si se daba por vencido, pero me contesto que no. Tenía muchas respuestas al problema; estaba buscando la mejor. Al minuto siguiente escribió corriendo su respuesta que decía lo siguiente:
“Lleva el barómetro a lo alto del edificio y asómate sobre el borde del tejado. Deja caer el barómetro, midiendo el tiempo de caída con un cronómetro. Luego usando la fórmula $s=1/2 at^2$, calcula la altura del edificio.”
En este momento le pregunte a mi colega si se daba por vencido. Estuvo de acuerdo y le dio al estudiante la máxima nota.
Al salir del despacho de mi colega recordé que el estudiante había dicho que tenía otras muchas respuestas al problema, así que le pregunte cuales eran. “Oh, si, ” dijo el estudiante. “Hay muchas maneras de determinar la altura de un edificio alto con un barómetro. Por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro, la longitud de su sombra, y la longitud de la sombra del edificio; luego usando una simple proporción, determinas la altura del edificio.”
“Excelente,“ le respondí. “¿Y las otras?”
“Si, “ dijo el estudiante. “Hay un método muy simple que le gustará. En este método se toma el barómetro y se comienza a subir las escaleras. A medida que se van subiendo las escaleras, se marca la longitud del barómetro a lo largo de la pared. Luego se cuenta el número de marcas y esto dará la altura del edificio en unidades barómetro. Un método muy directo.”
“Desde luego, si quiere un método más sofisticado, puede atar el barómetro al final de una cuerda, balancearlo como un péndulo; con él determina el valor de ‘g’ a nivel del suelo y en la parte superior del edificio. De la diferencia entre los dos valores de ‘g’ se puede calcular la altura del edificio.”
Finalmente, concluyó, “hay muchas otras formas de resolver el problema. Probablemente la mejor,” dijo, “es llamar en la portería. Cuando abra el portero, le dices lo siguiente: “Sr. portero, aquí tengo un barómetro excelente. Se lo daré, si me dice la altura de este edificio.”
En este momento le pregunté al estudiante si conocía la respuesta convencional a la pregunta. Reconoció que si, dijo que estaba harto de que los profesores del instituto y de la facultad trataran de enseñarle como tenía que pensar, usando el “método científico,” y a explorar la lógica profunda de la materia de una manera pedante, como se hace a menudo en matemáticas, en lugar de enseñarle la estructura de la materia.

Abrumador, siete maneras diferentes de medir la altura, y seguro que vosotros sois capaces de encontrar muchas más. Basta con utilizar todo lo que se conoce desde un punto de vista creativo.
¡¡¡Suerte estos días con los exámenes finales!!!!

Cartas (mate)mágicas

Resulta interesante hasta que punto las matemáticas pueden resultar sorprendentes e incluso “magia”.
El otro día nos suscribimos a la revista Leo-Leo, revista mensual para niños que les anima a leer y les cuenta diversas y divertidas historias. Como regalo de suscripción traía una “gran caja de magia”. Son trucos de magia bastante clásicos con los que estuve jugando con mi hija un rato.
De entre todos los trucos mágicos, el que me despertó la curiosidad era un juego de seis cartas con números que permitían adivinar la edad del espectador:

Cartas para leer la mente

El truco consiste en pedirle a un espectador que, sin decirle al mago cuál es su edad, escoja las cartas en las que ésta aparezca.
A continuación el mago, con bastante teatro, suma de cabeza el número de la esquina superior izquierda y “voilà”, se obtiene la edad del espectador.
Es un truco infalible si el espectador no hace trampas…
Pero, ¿Por qué funciona?, ¿qué orden siguen los números?
Observemos los números que hay que sumar: 1, 2, 4, 8, 16 y 32. Son las potencias de 2 y en realidad esa es la clave para adivinar el truco, la base 2 y el código binario.
Para entenderlo mejor, hay que recordar los fundamentos del sistema de numeración que empleamos.

El sistema de numeración decimal

Cuando escribimos una cantidad, 578 garbanzos, en realidad estamos describiendo una cantidad que se formaría al juntar 5 paquetes de 100 garbanzos, 7 paquetes de 10 garbanzos y 8 garbanzos sueltos. Este sistema de escribir cantidades forma el sistema de numeración decimal.
Se trata de un sistema de numeración que utiliza diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de los llamados “posicional” es decir, que las cifras anteriores cambian de valor según la posición que ocupen.
Así, en el número anterior, el 578, el 5 en la posición más a la izquierda indica 5 centenas, el 7 en medio simboliza 7 decenas y el 8 final indica 8 unidades.
Esto es algo que aprendemos desde pequeños y que hemos mecanizado hasta el punto de no necesitar recordarlo cada vez que vemos un número escrito. Pero no es el único sistema de numeración que existe. Aquellos familiarizados con los ordenadores les sonará el código binario (base 2), el octal (base 8) o el hexadecimal (base 16).

El sistema de numeración binario

Las cartas anteriores guardan relación con el sistema de numeración binario. Este sistema utiliza sólo dos cifras (0, 1) y es también posicional.
La diferencia con el decimal es el significado de cada posición. Mientras que en el sistema decimal cada posición se refiere a potencias de diez (unidades, decenas, centenas, …), en el sistema binario cada posición hace referencia a las potencias de 2: unidades, parejas, cuartetos, octetos, …

Pero, ¿cómo se escribe un número en base 2?

Veamos un ejemplo, el 45. Con 45 garbanzos puedo formar un paquete de 32 garbanzos y sobran 13. Con los 13 sobrantes no puedo formar ningún paquete de 16 garbanzos, pero si que puedo formar un paquete de 8 garbanzos y sobrarían 5. Con los 5 restantes puedo hacer un paquete de 4 garbanzos y sobra 1. Con éste no puedo hacer ninguna pareja de garbanzos, pero si que sobra 1 garbanzo.

Resumiendo: con 45 garbanzos puedo hacer 1 de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Por lo tanto:

45=101101

Esta conversión se puede hacer de forma más efectiva dividiendo sucesivamente entre 2, pero este proceso de restar resulta más útil para entender la disposición de los números en las cartas.

Y ya que estamos, ¿cómo convertir un número binario en decimal?

Pues este proceso es bastante sencillo, basta sumar las cantidades en las que se encuentre un uno en la notación binaria. ¿No suena esto a algo anteior?
Veamos un ejemplo, el número binario 100110 tiene 1 grupo de 32, 1 cuarteto y 1 par y por lo tanto 32+4+2=38.
Como tenemos una buena memoria enseguida recordamos que esta misma operación es la que tenemos que hacer para calcular el número secreto, la edad desconocida. Debíamos sumar las potencias de 2 en la que estuviera el número, ¿no?.
Pues ese es el truco. Basta colocar en cada cartón aquellos números que posean un grupo del mismo orden que la carta, el primer número de la lista, que será una potencia de 2.
En la correspondiente al 1, todos a los que le sobre una unidad, es decir, los impares.
En la correspondiente al 2, aquellos que en la transformación a binario, tuvieran una pareja.
En la del 4, aquellos que tuvieran un cuarteto, y así con el resto.
Veamos donde debe aparecer el número 45. Con él teníamos 1 grupo de 32, 0 de 16, 1 de 8, 1 de 4, 0 de 2, 1 de 1. Entonces debe aparecer en la carta del 32, en la del 8, en la del 4 y en la del 1. De esta forma, al sumar las cartas en las que aparece (32+8+4+1=45) se reconstruye el número.
Fabricar las cartas puede parecer laborioso, pero no es así. En realidad es sencillo si se tiene la posibilidad de cambiar números a notación binaria con sencillez. Hoy día cualquier hoja de cálculo tiene la orden “DEC.A.BIN()” que permite escribir un número decimal en su forma binaria.

Por último, ¿dónde parar la lista?

En principio podríamos llevar la lista hasta el infinito, dado que tenemos infinitos números, pero si queremos fabricar solo 6 cartas, ¿cuál será el último número que deberemos escribir en ellas?.
Bueno, pues si vamos a usar las 6 primeras potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16 y 32, entonces el primer número que no vamos a poder obtener es la siguiente potencia de 2, el 64. Por lo tanto tendremos que parar en el 63.
Por cierto que éste número, el 63, al ser el más grande, tendrá todas las potencias de 2, y se escribirá en binario como 111111.
¿Y con n cartas? Con n cartas usaremos las potencias desde 1 hasta $2^{n-1}$ y por tanto el último número que deberemos incluir en las cartas será $2^n-1$.
Desde luego que en matemáticas hay muchos trucos de prestidigitación, o al menos se lo parecerán a aquellos poco duchos en ello.


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Pasado, presente y futuro en la misma imagen

Resulta muy interesante lo que se puede conseguir si a las acciones de la vida cotidiana le aplicamos las abstractas trasformaciones matemáticas.
En la entrada de hoy vamos a ver un ejemplo muy, pero que muy divertido. Se trata de una aplicación lineal que trasforma los puntos del espacio-tiempo en otros, ligeramente modificados en la componente temporal.
Voy a explicarlo en detalle para luego poder disfrutar de la película plenamente.
Se empieza con una película. ¿Qué es una película? Pues en realidad se trata, matemáticamente hablando, de un conjunto de puntos (píxeles) que tienen dos coordenadas que denotan su posición, y que además deben aparecer en un instante en concreto. De esta forma se puede decir que cada píxel de las imágenes de una película son en realidad un punto que tiene tres coordenadas $(x,y,t)$ del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$.
Para aquellos poco acostumbrados a los espacios vectoriales, no hay que asustarse. Basta quedarse con la idea de las tres coordenadas, una que indica la posición horizontal, otra la vertical y una tercera el instante de tiempo en el que el píxel debe aparecer.
Solo hay que tener en cuenta que el origen de coordenadas en la pantalla se encuentre en la esquina superior izquierda de la misma. En la figura siguiente se puede observar cómo serían las coordenadas de 16 píxeles en tres instantes diferentes:

Una vez que tenemos esto claro, ahora pasamos a realizar una transformación en la película. Se trata de un endomorfismo, es decir, una aplicación lineal del espacio vectorial inicial sobre sí mismo que lo que hace es transformar unos puntos en otros. Es el caso del vídeo que vamos a ver la transformación tiene como ecuación $$f(x,y,t)=(x,y,t-y)$$ Está claro, ¿no? Vamos a explicarlo mejor, es sencillo entenderlo. Lo que vamos a hacer es cambiar cada píxel $(x,y,t)$ de la película por el píxel $(x,y,t-y)$, es decir por el píxel que ocupe la misma posición $(x,y)$ pero que suceda en el tiempo $t-y$.
Esto afecta de forma diferente a cada línea horizontal de píxeles. Todos los píxeles que estén a la misma altura se mostrarán con el mismo retraso temporal. Se retrasarán en una cantidad igual a su altura.
Esto significa que en cada fotograma vamos a ver cosas que suceden en diferentes instantes de tiempo. El efecto es realmente sorprendente, y se nota más si los movimientos son más rápidos.

Que lo disfrutes.

Otra transformación similar es la que se aplica en la siguiente foto del noruego Eirik Solheim. En este caso la transformación aplicada es $$f(x,y,t)=f(x,y,t+x)$$ Es decir, ahora la transformación se aplica en líneas verticales y se muestran líneas que van desde el uno de enero a la izquierda hasta el 31 de diciembre a la derecha. Todo un año en una foto.


foto de Eirik Solheim.

Realmente interesante, ¿no?

Brotes verdes, envolventes macroeconómicas y la derivada segunda

Hoy 1 de mayo, día del trabajo, y dada la situación actual, vamos a hablar un poco de economía y de previsiones económicas, o de los fundamentos de éstas, que no requieren grandes conocimientos matemáticos.
El viernes pasado, se aprobó en Consejo de Ministros un paquete de medidas para “estimular el crecimiento”, pero a cambio el Gobierno rectificó sus previsiones económicas que daban el 2014 como el año en el que saldríamos de la crisis. Una lástima, porque yo ya estaba convencido de que esto era cuestión de un par de días…
En la rueda de prensa posterior, en la intervención de nuestro Ministro de Economía y Competitividad empezó hablando de las “envolventes macroeconómicas” en unos términos en los que nos recordó a los ya famosos “brotes verdes” del gobierno anterior.
Según lo pintaron, parecería como si detrás de todo ello hubiera una oscura teoría económica con indicadores y datos a los que solamente ellos tienen acceso y que indefectiblemente nos llevan a creer en ellos. Sesudos cálculos basados en complejísimas hojas de cálculo con las que se puede conocer hasta el precio del coche que te vas a comprar en 2015…
La realidad es otra muy distinta, y como recientemente se comprobó en el polémico caso del informe de los economistas Reinhart y Rogoff, los cálculos no son tan sesudos ni las hojas de cálculo tan complejas, sino que incluso pueden tener fallos “ridículos”.
Si ánimo de enmendar la plana a nadie, vamos a ver como es posible realizar nuestras pequeñas predicciones de crecimiento con los que dar nuestras pequeñas ruedas de prensa en la comunidad de vecinos.
Vamos a analizar esas envolventes macroeconómicas tan complejas que parecen sacadas de lo más profundo de los tomos de una biblioteca económica y que nosotros, terribles mortales, no seremos capaces de comprender.

Los datos

Para cualquier estudio se necesitan datos, para ser un buen economista hace falta tener una buena fuente de datos, al menos de aquellos datos que apoyen tus teorías.
Seguro que el ministro ha manejado complejos datos como la balanza de pagos, el tipo de cambio del bono a 10 años, la evolución del precio de las materias primas, etc, pero como yo solo soy un simple mortal, usaré el PIB, el producto interior bruto como indicador de la economía del país.
Y, ¿de dónde se sacan los datos del PIB? Pues esto es sencillo, en la página web del INE se encuentran a disposición de todos los españoles los datos más diversos, entre ellos los del PIB.
El último dato publicado es del cuarto trimestre de 2012, seguro que el gobierno tiene acceso al del primer trimestre de este año, pero nos conformaremos con ello. De entre todos los datos que el INE nos ofrece vamos a elegir los del PIB corregidos de Rentas a precio de mercado por trimestres desde el segundo trimestre de 2011, que es el periodo afectado por las “envolventes” del partido que nos gobierna. La tabla con los datos obtenidos es la siguiente:

Periodo 2011TII 2011TIII 2011TIV 2012TI 2012TII 2012TIII 2012TIV
PIB
(mill de €)
266211 266282 265782 263846 262979 263421 260958

Las envolventes

A continuación procedemos a realizar complejos y sesudos cálculos. Para ello introducimos los datos en una hoja de cálculo y los representamos en un diagrama de barras.
La “envolvente” la vamos a obtener realizando un ajuste de los datos. Tomaremos un ajuste polinomial a un polinomio de tercer grado. Tomamos uno de tercer grado porque así podremos tener un máximo, un mínimo y un punto de inflexión. Este último es muy importante en lo que a informes económicos se refiere porque marca el punto en el que un gobierno desesperado se da cuenta de que “el fin de la crisis está cerca”, “se vislumbra el final del túnel”, en definitiva, aparecen los “brotes verdes”.

El estudio económico

El ajuste polinómico ha arrojado como resultado la siguiente función:

f(x)=11,41x^3 - 206,3 x^2 + 155,2 x + 266430

Ahora procederemos a ver que nos dice esta función de ajuste. Para ello buscaremos sus máximos y mínimos relativos y su punto de inflexión. Sus derivadas primera y segunda son

f'(x)=34,23 x^2 -412,6 x + 155,2 \quad \quad \quad \quad f''(x)=68,46 x-412,6

Anulando las derivadas obtenemos los puntos deseados. El máximo relativo se encuentra en x=0.39, es decir, durante el segundo trimestre de 2011. Aquí el gobierno acababa de aterrizar, pasados ya los 100 primeros días de mandato y las cosas parecían ir viento en popa.
El punto de inflexión se encuentra en x=6,03, es decir en el tercer trimestre de 2012. Hasta ahí habíamos estado cayendo sin control, es decir con derivada segunda negativa. A partir de este punto la derivada segunda es positiva y por tanto seguimos cayendo, pero ahora en forma de U, es decir, que cada vez caeremos menos. En jerga política “se frena la desaceleración de la economía”.
¿Y cuándo empezaremos a crecer? ¿Cuándo llegaremos al mínimo? El mínimo se encuentra en x=11,67 que es a finales de 2013 o principios de 2014, situación más optimista de la que planteó el gobierno el pasado viernes y que se parece más a lo que nos aseguraban antes.

Otros escenarios

El análisis realizado es muy débil como se verá a continuación. Para ello vamos a realizar otros dos análisis similares cambiando la cantidad de datos utilizados.
En primer lugar tomaremos un trimestre más, el primer trimestre de 2011. Si repetimos los pasos dados anteriormente se obtienen unos resultados muy esperanzadores. El punto de inflexión habría ocurrido entre el primer y el segundo trimestre de 2012, mientras que el mínimo se alcanzaría en el primer trimestre de 2013, y a partir de aquí empezaríamos a crecer.

Ajuste: f(x) = 35.41x^3 - 621.1 x^2 + 2460 x + 263340
Máximo: 2º trimestre de 2011
Punto de Inflexión: 2º trimestre de 2012
Mínimo: 1º trimestre de 2013
Ya estaríamos creciendo !!!!

El segundo de los escenarios lo obtendremos quitando el segundo trimestre de 2011. Con un dato menos que el primero de los análisis, el resultado es bastante descorazonador ya que en este caso el punto de inflexión estaría en el primer trimestre de 2012, pero a diferencia de los casos anteriores, no tiene mínimo, por lo que la economía continuaría cayendo indefinidamente.

Ajuste: f(x) = -61.34 x^3 + 638.6 x^2 - 2894 x + 268830
Punto de Inflexión: 1º trimestre de 2012
No tiene puntos estacionarios, cae indefinidamente!!!!

Es decir, según queramos afirmar que vamos bien o muy mal, podremos usar datos que así lo aseguren.

Conclusión

La conclusión que podemos sacar de esto es que, muy a nuestro pesar, seguiremos cayendo durante este año, y con un poco de suerte tocaremos fondo a principios del año que viene. Lo único que parece quedar claro de todo esto es que ya hemos pasado por el punto “mágico”, ese punto en el que dejamos de caer cada vez más rápidos y seguimos cayendo, pero de forma más suave, cada vez menos.
En matemáticas, este punto se llama “punto de inflexión” y posee propiedades muy interesantes. Por ejemplo es el punto en el que la tangente a la curva corta a dicha curva en el punto de tangencia. Separa zonas de diferente concavidad, es decir, las funciones pasan de curvarse hacia abajo a hacerlo hacia arriba, según hemos tratado en esta entrada.
Sin embargo las matemáticas también nos enseñan que cambiar de concavidad no implica que vamos a tocar fondo. No todas las funciones con derivada segunda positiva, es decir, curvadas hacia arriba, con forma de U, llegan a tocar fondo. Ese el el caso de la función

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

Trasladado a la economía, la curva roja explicaría lo que le pudo suceder a Japón, un país que en los años 80 y 90 prometía ser la gran potencia del futuro, similar a la actual China, y que tras una crisis no ha vuelto a crecer de forma significativa. Esperemos que no sea este nuestro caso…
En definitiva, las predicciones económicas tienen una técnica con principios muy elementales, y que sin embargo solo los buenos economistas consiguen ser escuchados. Se trata más de un arte que de una ciencia.

¿Cuánta sombra dan los árboles?

Es un día soleado de finales primavera, uno de esos en los que se agradece un rato de tranquilidad para escuchar el canto de los pájaros sentado a la sombra de un frondoso árbol. Uno de esos pocos días en los que consigues un rato de tranquilidad para descansar.
Escuchando a los gorriones y se viene a la cabeza el romance del prisionero…

Que por Mayo, era por Mayo cuando hace la calor….


by John Kay

Sin embargo, otra idea surge desde lo más profundo del otro hemisferio… Esas hojas así dispuestas, forman capas de hojas que van tapando la luz del Sol, pero ¿cuánta sombra proyectan? ¿Qué cantidad de luz llega al suelo?
Se trata de un problema divertido que necesita de varios pasos para ser resuelto. Empezaremos con las siguientes aproximaciones que permiten formular el problemas más fácilmente.

  • Vamos a suponer que las hojas se disponen en capas. Esas capas se suceden la una a la otra, pero las hojas de cada capa forman una estructura plana o casi plana en la que no hay hojas superpuestas.
  • La estructura de cada capa es similar a las demás. Obviamente no serán totalmente iguales pero si tendrán el mismo patrón y estarán dispuestas a una distancia suficiente.
  • Cada hoja es opaca, es decir, no deja pasar la luz.
  • El área ocupada por una hoja es “aproximadamente” circular.

Estas hipótesis no son estrictamente necesarias, pero ayudan a modelizar la situación.

Sombra de una hoja

Este punto es sencillo. Una hoja tapa justo una superficie igual a su área, que dado que hemos supuesto circular, será $\pi r^2$, siendo $r$ el radio de la hoja.

Sombra de una rama

¿Cuánta luz tapa una rama con sus hojas?. Esto también es fácil, será el área de una hoja multiplicada por el número total de hojas de la rama, que llamaremos $h$.
Es decir, una rama tapará un área igual a $h \pi r^2$.

Sombra de una capa de ramas

Varias ramas situadas a la misma altura, formarán en el árbol una estructura que llamaremos capa. ¿Cuánta luz tapa una capa de hojas? De nuevo la repuesta es número de hojas de una capa multiplicado por el área de una hoja, justo igual que antes.
Sin embargo, para valorar cuántas hojas tiene una capa, vamos a tener que pensar un poco más.
Un árbol tendrá un número muy grande de hojas $N$, repartidas en una serie de $n$ capas. Como hemos dicho, cada capa puede estar formada por una o varias ramas que no se superponen entre sí.
Como suponemos que las capas de hojas son semejantes entre sí, cada una tendrá un total de $N/n$ hojas.
Por tanto, el área tapada por cada una de las capas del árbol será $S_n=N \pi r^2/n$.

Ahora con fracciones

No nos asustemos porque hasta ahora todo ha sido fácil. Vamos a dar una vuelta de tuerca más.
Supongamos que la zona total que ocupa el árbol es un área que llamaremos $S$. Es en este área donde las capas de hojas van a ir tapando la luz, dejando solo unos resquicios por los que se van colando pequeños rayos, capa tras capa.
Cada capa tapará una cierta porción de área. El valor de dicha porción de área que tapa cada una de las $n$ capas es $S_n/S$, el área que tapa una capa entre en área total del árbol.
Por lo tanto, la fracción de área que quedará libre será $1-S_n/S$, es decir: $$1-\frac{N \pi r^2}{n S}$$

Contando estrellas

Resulta complicado contar el número total de hojas de un árbol. Serán muchas, y no queremos esperar a que se caigan para contarlas, así que vamos a idear una forma de saltarnos este paso.
Para ello vamos a tomar una superficie unidad y contar cuántas hojas hay en ese área. Eso es similar a lo que hacemos para contar estrellas o las gotas de pintura en la pared.
Llamaremos a ese valor densidad de hojas $d$. Esta densidad tiene que ser la misma, aproximadamente, en todo el árbol, y por tanto deberá ser igual al número total de hojas entre la superficie total ocupada por el árbol $d=N/S$.
Con esto la fracción de área que quedará libre que hemos calculado anteriormente se puede expresar: $$1-\frac{d \pi r^2}{n}$$

Capa tras capa…

Llegados a este punto, viene bien recapitular. Acabamos de obtener una fórmula que nos sirve para calcular la fracción de área libre que deja una capa de hojas.
Esta fracción, conocidos los valores de los parámetros, tendrá un valor que podremos calcular. Valdrá por ejemplo 1/10 o 1/124.
Tomemos un valor sencillo para ejemplificar. El que la fracción valga 1/3 querrá decir que de la luz que llega a la primera capa solo 1/3 pasará a la segunda capa.
Pero la segunda capa también dejará pasar solo 1/3 de la luz que le llega por lo que a la tercera le llegará solamente … (1/3 · 1/3 = 1/9)… 1/9 de la luz inicial.
Pero la tercera también dejará pasar solo 1/3 de la luz total, y así sucesivamente las $n$ capas. Por tanto la fracción de luz que atraviesa finalmente las $n$ capas se calculará multiplicando la fracción por si misma tantas veces como capas tenga el árbol.
Si volvemos a nuestra fórmula y aplicamos el razonamiento anterior podremos calcular la fracción de luz que atraviesa una árbol con $n$ capas. Si llamamos $F_n$ a esa fracción, tendremos: $$F_n=\left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Dicho valor es justo lo que queríamos calcular. Ahora solo tenemos que estimar valores creíbles para los datos, labor que dejo a los lectores.

Hasta el infinito y más allá…

Pero no acaba aquí el asunto, porque podemos llevar los cálculos un poco más allá. ¿Qué pasaría si en número de capas es muy grande? Cada capa tendría menos hojas, pero al ser muchas más, ¿Cuál será la fracción total de luz que atraviesa la copa del árbol?
Para eso tenemos el cálculo de límites, del cuál se ha hablado en dos entradas anteriores: No pisar el césped y Pasito a paso. Límites laterales. Ahora se trata de ver a qué valor se acerca la fracción de luz que atraviesa las $n$ capas cuando este número de capas tiende a infinito.
Está claro que la fracción de luz que traviesa cada capa, al ir siendo estas cada vez más pequeñas, será cada vez mayor, aproximándose a valer 1. Pero por contra, tendremos cada vez más capas, que aunque quiten poca luz, siempre quitarán algo. Dado que el número de capas tiende a infinito, esto hará que la cantidad de luz que pase tienda a ser cero.
¿No es esto contradictorio? Por una parte debería pasar toda la luz porque tenemos capas que quitan muy poca luz. Pero por otro lado parece que deberíamos tener una sombra absoluta al tener una cantidad tan grande de capas.
Estas situaciones contradictorias aparecen frecuentemente en el cálculo de límites y por tanto son muy conocidas y pueden ser resueltas, normalmente, con poca dificultad. Se denominan indeterminaciones y aprender a solventarlas constituye el parte núcleo principal de conocimientos que todo alumno debe adquirir en su formación matemática en el bachillerato y los primeros cursos de universidad.
En este caso el límite a calcular es el siguiente: $$F=\lim_{n\to \infty} F_n= \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{d \pi r^2}{n}\right)^n$$
Afortunadamente es una de las primeras indeterminaciones que se aprenden a resolver. Su valor es: $$F=e^{-d \pi r^2}$$
Fórmula corta y simple, con el número e=2.71828, la densidad $d$ y el área de una hoja.

Así que la próxima vez que os refugiéis del calor debajo de un árbol, pensad en si los cálculos están correctamente hechos o si se os ocurre una forma mejor de hacerlos. Seguro que vais a poder mejorar la estimación.
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